矛盾から導く，あなたが天才であることの証明
こちらの記事は，論理学を楽しく学ぼうという趣旨でお送りしております．からかっているつもりはありません．
釣ろうとはちょっとしました．ごめんなさい．
完全に独学ですので，内容には誤りが含まれる可能性がありまくります．
是非，皆さんの手で証明して，逆に誤りを叩きつけるくらいでお願いします．
証明（文字バージョン）
証明：矛盾の例として，シュレーディンガーの猫を用いてみましょう．
猫は死んでいるし，生きています．
これを矛盾とします．
これを用いて，以下の状況を考えてみましょう．
シュレーディンガーの猫装置を作ったぞ！実験を始める！
猫が死んでしまうか，俺が天才かのどちらかだ！
猫は生きているらしいぞ！
じゃあ俺は天才だ！
いかがでしたか？（テンプレ）
はい．
ではこれを，論理学の観点から，ほんとに正しいのか見ていきましょう．
論理学の基礎
命題論理という学問で考えていきます．
命題について
「猫は死んでいる」，「猫は生きています」，「俺は天才」
論理学では，これを命題＝「真（正しい）か，偽（正しくない）のどちらかが言える問題」にして，一つの文字に代入することで考えます．（排中律ともいう）
論理といっても数学なので，xに1を代入するみたいな感じです．
$$
P=猫は死んでいる\\
Q=俺は天才
$$
などです．
論理演算子について
次に，「～ではない」という日本語と，「～か，～だ」という日本語について考えます．これらは論理演算子という記号で表されます．
プラス+とかマイナス-とかみたいな感じです．
$$
\lnot P=Pではない=「猫は死んでいる」ではない=猫は生きている\\
P\lor Q=Pか，Qだ=「猫は死んでいる」か，「俺は天才」だ！
$$
ここで $${\lnot P}$$ は，「「生きている」ではない」の意味は，死んでいるとしました．
仮に「「好き」ではない」とかだったら，嫌いにはならない（好きでも嫌いでもない場合が存在する）ので注意しましょう
また$${P\lor Q}$$は，Pだけ正しいか，Qだけ正しいか，さらにPQ両方正しいときにも正しい（真）とされます．
ちなみにこれ論理学の種類や歴史が多いせいで，
・論理和（論理全般の用語）とか，
・選言（古めの論理学の用語）とか，
・∩（集合論）とか，
・∧（論理学の式）とか，
・OR（論理回路の用語）とか，
・＋（論理回路の式）とか，
・||（プログラミング）とか，
同じものなのに名前がどんどん出てきます．
ノート取るとき燃やしたくなるので注意して下さい．
（さらに余談ですが，実際に論理学を+-の数式計算で考える人たちもいます．わお．）
矛盾
「猫は死んでいるし，生きている」
これには，「～だし，～」，「～かつ～」という日本語，AND，論理積と呼ばれる記号 $${\land}$$ を使います．
$$
P\land \lnot P=「猫は死んでいる」し，「猫は生きている」
$$
これが矛盾です．$${\bot}$$ と書かれたりもします．
どちらかが偽なら，ANDの結果は偽となりますので，論理学的に「矛盾は常に偽」になります．
論理式を使った証明
では，学びを元に再証明
まず，命題をまとめます．
$$
P=猫は死んでいる\\
\lnot P=猫は生きている\\
P\land \lnot P=矛盾：猫は死んでいるし生きている\\
Q=俺は天才
$$
証明の文章を翻訳してみましょう
シュレーディンガーの猫装置を作ったぞ！
$${P\land \lnot P}$$残念なことに猫が死んでしまうか，もしくは俺が天才かのどちらかだ！
$${P\lor Q}$$猫は生きているらしいぞ！
$${\lnot P}$$じゃあ俺は天才だ！
$${Q}$$
命題に翻訳したところで，計算するためには結局いろいろ勉強しなければならず，時間がかかります．
直感的な計算ルールの概要だけ説明すると，
証明するには，仮定1から3が全て真のとき，結論4がどのような場合でも必ず真だと示す．
（厳密には妥当な推論という．結論4が全て真＝反例がないということ．R.ジェフリーの記号論理学を参照）つまり，仮定1から3を全てANDでつなげ，それが真のとき，
結論がどうなるか見ればよいこれをするには，含意 $${P\to Q}$$ という論理記号が使える．
これはPが偽のときは何とも言えないので答えを真
Pが真のときは，Qが真のときに答えを真
とする論理演算子である．
という考え方の元，以下の式を見ます．
$$
(P\land \lnot P)\land(P\lor Q)\land(\lnot P)\to Q
$$
論理回路でよく使う，真偽を1と0で表した表，真偽値表を使ってみると分かりやすい（当社比）です
ということで，論理学上は正しいということが分かりました！
やった！
これであなたも天才だ！
おまけ：間違いはないのか？
今回は矛盾を扱う（すなわち理論に矛盾を導入する）ことにしましたが，
矛盾は，どんな時も常に偽と定義されていて，
これが，今回の証明のバグというか，おかしな点を生みます．
結論を言うと，矛盾を認めると，何でも証明できます．
これを爆発原理（google翻訳）と言ったりして，今回はこれを使って俺は天才だという証明をしたわけです．
含意は「Pが偽のときは何とも言えないので答えを真」としていて，
これを元に真偽値表をもう一度見ると，仮定が全部偽（矛盾）なので，
正しいというか，「何とも言えない」ということが分かります．
しかし，論理学上は「何とも言えない」を真とした方が都合がよいのでそう定義しています．
都合が良いとは，含意の役割が「反例が無いことを示して証明に使う」ようなイメージとなるので，「何とも言えない＝偽」としてしまうと，「何とも言えない＝反例」になって証明の際に扱いづらくなるという意味です．
ちなみに，何でも証明できるってことは，「俺は天才ではない」ことも証明できますね．
ドンマイ！まあ天才じゃなくても皆さん相当頭いいでしょ！
こんな記事読んでるくらいだし．
選言的三段論法
英語のwikiの例は以下のような感じです．
私はスープを選ぶか、サラダを選びます。
私はスープを選びません。
したがって、私はサラダを選択します。
これを使えば，矛盾から何でも証明できます．
矛盾を使えば，スープを選びつつ，スープを選ばないと言えてしまうので，サラダも選ばないともいえるし，選ぶとも言えるわけですね．
書いててワケわからんくなってきた．
ゲーデルの不完全性定理
正しいとも正しくないとも，何とも言えない問題があるという定理です．
証明内容は激ムズですが，要は
正しいor正しくないと言い切ってしまうと，
矛盾が生じて，理論が爆死しちゃうから，
正しいor正しくないと言い切れない命題の存在を悔しいが認めよう…
という定理です．
数学が間違っている！とかではなく，「何とも言えないよね」というだけの理論なので誤解にご注意ください．
（このまとめ方も十分間違っている気もする）
※本記事は，量子力学が間違っているという主張ではございません．
分かりやすいかと思って取り上げました．
最後まで読んでいただき，ありがとうございました．
これで自分を天才だと褒めまくりましょう！