脱出速度
第一宇宙速度
物体が人工衛星のように地表に落ちずに地球の周りを円運動するときの速度をいう。
$${R_e}$$：地球の半径($${=6.378\times10^{6}\text{m}}$$)
$${M_e}$$：地球の質量($${=5.972\times10^{24}\text{kg}}$$)
$${G}$$：万有引力定数($${=6.6743\times10^{-11}\text{m}^3\text{/kgs}^2}$$)
$${g}$$：重力加速度($${=9.80665\text{m/s}^2}$$)
とし、地表から水平に速度$${v_1}$$で運動する質量$${m}$$の物体を考える。
このとき Newton's 2nd law
$${m\dfrac{v_1^2}{R_e}=G\dfrac{M_em}{R_e^2}}$$（遠心力=万有引力）
$${v_1^2=\dfrac{GM_e}{R_e}, v_1=\sqrt{\dfrac{GM_e}{R_e}}}$$ (1-1)
ところで
$${mg=G\dfrac{M_em}{R_e^2}}$$（重力=万有引力）
$${GM_e=gR_e ^2}$$ (1-2)
これを(1-1)に代入すると
$${v_1=\sqrt{\dfrac{gR_e^2}{R_e}}=\sqrt{gR_e}}$$ (1-3)
具体的な値は
$${v_1=\sqrt{9.80665\text{m/s}^2\times 6.378\times10^{6}\text{m}}=7.909\times10^3\text{m/s}=28,500\text{km/h}}$$ である。
地球の衛星である月について考える。
重力加速度$${g}$$は地表付近での値なので使えないので(1-1)から$${v_1}$$を求めることにする。
(1-1)の$${R_e}$$を地球～月の距離$${R_{em}=3.844\times10^{8}\text{m}}$$と置き換える。
$${v_1=\sqrt{\dfrac{GM}{R_{em}}}=\sqrt{\dfrac{6.6743\times10^{-11}\text{m}^3\text{/kgs}^2\times5.972\times10^{24}\text{kg}}{3.844\times10^{8}\text{m}}}}$$
$${=1.018\times10^3\text{m/s}=3,666\text{km/h}}$$
ちなみに月の公転周期は27.32日なので公転速度は
$${v=\dfrac{2\pi h}{27.32\text{day}}=\dfrac{2\times 3.142\times 3.844\times10^{5}\text{km}}{27.32\times24\text{h}}=3,684\text{km/h}}$$
で第一宇宙速度とほぼ同じ大きさである。
第二宇宙速度
上の人工衛星の状態から更に地球の引力圏外に脱出するための速度である。
力学的エネルギー保存の法則より
地球上（速度$${v_2}$$、距離$${R_e}$$） 引力圏外（速度$${0}$$、距離$${\infty}$$）
$${\dfrac{1}{2}mv_2^2+\displaystyle\int_{\infty}^{R_e}G\dfrac{M_e m}{r^2}dr=\dfrac{1}{2}m\times0^2+\displaystyle\int_{\infty}^{\infty}G\dfrac{M_e m}{r^2}dr=0}$$
$${\dfrac{1}{2}mv_2^2=-GM_e m\displaystyle\int_{\infty}^{R_e}r^{-2}dr}$$
$${=-GM_e m\Big[\dfrac{1}{-2+1}r^{-2+1}\Big]_{\infty}^{R_e}=-GM_e m\Big\{-\dfrac{1}{R_e}-\Big(-\dfrac{1}{\infty}\Big)\Big\}}$$
$${=\dfrac{GM_e m}{R_e}}$$
$${v_2^2=\dfrac{2GM_e}{R_e}}$$ よって$${v_2=\sqrt{\dfrac{2GM_e}{R_e}}}$$ (2-1)
(1-2)を代入して
$${v_2=\sqrt{\dfrac{2gR_e^2}{R+h}}=\sqrt{2g(R_e)}}$$ (2-2)
この値は第一宇宙速度（$${v_1=\sqrt{gR}}$$）の$${\sqrt{2}}$$倍である。
具体的には
$${v_2=\sqrt{2}v_1=1.414\times7.909\times10^3\text{m/s}=40,270\text{km/h}}$$である。
この速度を超えると物体は地球の重力圏を脱出することができる。
第三宇宙速度
更に物体が太陽の引力圏外に脱出するための速度である。
(2-1)に太陽の質量$${M_{sun}}$$と地球の公転半径$${R_{se}}$$を入れればよい。
$${v_s=\sqrt{\dfrac{2GM_{sun}}{R_{sun}}}}$$ (3-1)
← $${M_{sun}=1.98892\times10^{30}\text{kg}}$$、$${R_{se}=1.496\times10^{11}\text{m}}$$
$${G=6.6743\times10^{-11}\text{m}^3\text{/kgs}^2}$$
$${=\sqrt{\dfrac{2 \times 6.6743\times10^{-11}\text{m}^3\text{/kgs}^2 \times 1.98892\times10^{30}\text{kg}}{1.496\times10^{11}\text{m}}}}$$
$${=4.213\times10^4\text{m/s}=151,700\text{km/h}}$$
この値は宇宙座標からみた速度なので、地球を基準とする場合は地球の公転速度$${v_e}$$を引く必要がある。
地球の公転周期$${\rho_e=356.2422\text{day}}$$として
$${v_e=\dfrac{2\pi R_{se}}{\rho_e}=\dfrac{2\times3.142\times 1.496\times10^{11}\text{m}}{356.2422\text{day}\times 24\text{h/day}\times3600\text{s/h}}=2.979\times10^4\text{m/s}}$$
よって地球の公転軌道からの脱出速度$${v_{e0}}$$は
$${v_{e0}=v_s-v_e=4.213\times10^4\text{m/s}-2.979\times10^4\text{m/s}=1.234\times10^4\text{m/s}}$$
となる。
地表から飛び出して速度$${v_{e0}}$$になるには
エネルギー保存則より
地球上（速度$${v_3}$$､距離$${R_e}$$） 引力圏外（速度$${v_{e0}}$$､距離$${\infty}}$$）
$${\dfrac{1}{2}mv_3^2+\displaystyle\int_{\infty}^{R_e}G\dfrac{M_em}{r^2}dr=\dfrac{1}{2}mv_{e0}^2+\displaystyle\int_{\infty}^{{\infty}}G\dfrac{M_em}{r^2}dr }$$
$${\dfrac{1}{2}v_3^2+GM_e\displaystyle\int_{\infty}^{R_e}r^{-2}dr=\dfrac{1}{2}v_{e0}^2+0}$$
$${\dfrac{1}{2}v_3^2+GM_e\Big[\dfrac{1}{-2+1}r^{-2+1}\Big]_{\infty}^{R_e}=\dfrac{1}{2}v_{e0}^2}$$
$${\dfrac{1}{2}v_3^2+GM_e\Big\{-\dfrac{1}{R_e}-\Big(-\dfrac{1}{\infty}\Big)\Big\}=\dfrac{1}{2}v_{e0}^2}$$
$${\dfrac{1}{2}v_3^2-\dfrac{GM_e}{R_e}=\dfrac{1}{2}v_{e0}^2}$$ $${v_3^2=\dfrac{2GM_e}{R_e}+v_{e0}^2}$$
$${v_3=\sqrt{\dfrac{2GM_e}{R_e}+v_{e0}^2}}$$
← $${R_e=6.378\times10^{6}\text{m}}$$ $${M_e=5.972\times10^{24}\text{kg}}$$
$${G=6.6743\times10^{-11}\text{m}^3\text{/kgs}^2}$$
$${=\sqrt{\footnotesize{\dfrac{2\times 6.6743\times10^{-11}\text{m}^3\text{/kgs}^2\times 5.972\times10^{24}\text{kg}}{6.378\times10^{6}\text{m}}+(1.234\times10^4\text{m/s})^2}}}$$
$${=1.665\times10^4\text{m/s}=5,994\text{km/h}}$$
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