Liouville の定理
位相空間内のある領域の面積（体積）が時間に対して不変である。
これをリウビルの定理（Liouville's theorem）という。
ここでは２次元の位相空間について考える。
位相空間内の４点の座標を
$${A(q,p), B(q+dq,p),C(q+dq,p+dp),D(q,p+dq)}$$
とし､時間$${\delta t}$$後に以下に移動するとする。
$${A(q,p)→A'(q'(q,p), p'(q,p))}$$
$${q'(q,p)=q+\dfrac{\partial q}{\partial t}\delta t}$$、$${p'(q,p)=p+\dfrac{\partial p}{\partial t}\delta t}$$ (1) である。
$${B(q+dq,p)→B'(q'(q+dq, p), p'(q+dq,p))}$$
$${=B'\Big(q'+\dfrac{\partial q'}{\partial q}dq, p'+\dfrac{\partial p'}{\partial q}dq\Big)}$$
$${\because f(x+a, y+b)=f(x,y)+\dfrac{\partial f}{\partial x}da+\dfrac{\partial f}{\partial y}db}$$
（多変数のMaclaurin展開）
$${C(q+dq,p+dp)→C'(q'(q+dq, p+dp), p'(q+dq, p+dp))}$$
$${=C'\Big(q'+\dfrac{\partial q'}{\partial q}dq+\dfrac{\partial q'}{\partial p}dp, p'+\dfrac{\partial p'}{\partial q}dq+\dfrac{\partial p'}{\partial p}dp\Big)}$$
$${D(q,p+dp)→D'(q'(q, p+dp), p'(q, p+dp))}$$
$${=D'\Big(q'+\dfrac{\partial q'}{\partial p}dp, p'+\dfrac{\partial p'}{\partial p}dp\Big)}$$
ここで
$${\overrightarrow{A'B'}=\Big(\dfrac{\partial q'}{\partial q}dq, \dfrac{\partial p'}{\partial q}dq\Big)}$$､$${\overrightarrow{D'C'}=\Big(\dfrac{\partial q'}{\partial q}dq, \dfrac{\partial p'}{\partial q}dq\Big)}$$ $${\therefore \overrightarrow{A'B'}/\!/\overrightarrow{D'C'}}$$
$${\overrightarrow{A'D'}=\Big(\dfrac{\partial q'}{\partial p}dp, \dfrac{\partial p'}{\partial p}dq\Big)}$$､$${\overrightarrow{B'C'}=\Big(\dfrac{\partial q'}{\partial p}dp, \dfrac{\partial p'}{\partial p}dq\Big)}$$ $${\therefore \overrightarrow{A'D'}/\!/\overrightarrow{B'C'}}$$
よって四角形$${A'B'C'D'}$$は平行四辺形である。
では､それぞれの四角形の面積を求める。
四角形$${ABCD}$$について
頂点$${A}$$を原点に移動したとき､$${B(dq, 0), D(0, dp)}$$なので
$${S_{ABCD}=dqdp}$$
四角形$${A'B'C'D'}$$について
頂点$${A'}$$を原点に移動したとき､$${B\Big(\dfrac{\partial q'}{\partial q}dq, \dfrac{\partial p'}{\partial q}dq\Big), D\Big(\dfrac{\partial q'}{\partial p}dp, \dfrac{\partial p'}{\partial p}dq\Big)}$$なので
$${S_{A'B'C'D'}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial q'}{\partial q}dq \dfrac{\partial p'}{\partial q}dq\\\dfrac{\partial q'}{\partial p}dp \dfrac{\partial p'}{\partial p}dq\end{vmatrix}}$$ ← $${q'=q+\dfrac{dq}{dt}\delta t=q+\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial p}\delta t}$$
$${p'=p+\dfrac{dp}{dt}\delta t=p-\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial q}\delta t}$$を代入
$${=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial}{\partial q}\Big(q+\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial p}\delta t\Big)dq \dfrac{\partial}{\partial q}\Big(p-\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial q}\delta t\Big)dq\\\dfrac{\partial}{\partial p}\Big(q+\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial p}\delta t\Big)dp \dfrac{\partial}{\partial p}\Big(p-\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial q}\delta t\Big)dq\end{vmatrix}}$$
$${=\begin{vmatrix}\Big(1+\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial q\partial p}\delta t\Big)dq \Big(-\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial q^2}\delta t\Big)dq\\\Big(\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial p^2}\delta t\Big)dp \Big(1-\dfrac{\partial\mathscr{H}^2}{\partial q\partial p}\delta t\Big)dq\end{vmatrix}}$$
$${=\begin{vmatrix}\Big(1+\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial q\partial p}\delta t\Big)\Big(1-\dfrac{\partial\mathscr{H}^2}{\partial q\partial p}\delta t\Big)-\Big(-\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial q^2}\delta t\Big)\Big(\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial p^2}\delta t\Big)\end{vmatrix}dqdp}$$
$${=\begin{vmatrix}1-\Big(\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial q\partial p}\delta t\Big)^2+\Big(\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial q^2}\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial p^2}\delta t^2\Big)\end{vmatrix}dqdp}$$
$${=\begin{vmatrix}1+\Big\{\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial q^2}\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial p^2}-\Big(\dfrac{\partial^2\mathscr{H}}{\partial q\partial p}\Big)^2\Big\}\delta t^2\end{vmatrix}dqdp}$$ ← $${\delta t^2\approx0}$$
$${=dqdp}$$
よって $${S_{ABCD}=S_{A’B'C'D'}}$$である。
別の説明
正準変換にでは以下は不変量である。
(1) 微分不変式 $${\displaystyle\sum_(i=1)^f=(\delta_2p_i\delta_1q_i-\delta_1p_r\delta_2q_r)}$$
(2) 積分不変式 $${I=\displaystyle\int…\int dq_1dp_1 … dq_fdp_f}$$（位相空間の体積）
正準変換$${(q, p)\rightarrow (Q, P)}$$において
変化量$${\delta q_i=Q-q, \delta p_i=P-p}$$が無限に小さいとき､これを無限小変換という。
正準変数$${q_i (\tau), p_i (\tau)}$$がパラメーター$${\tau}$$の関数として表わされ､$${\tau}$$の微小変化$${\delta\tau}$$による変換$${(q_i (\tau), p_i (\tau))\rightarrow (q_i(\tau +\delta\tau), p_i (\tau +\delta\tau))}$$が無限小変換であるための条件は適当な関数$${K(q, p)}$$とするとき
$${\delta q_i=\dfrac{\partial K}{\partial p_i}\delta\tau, \delta p_i=-\dfrac{\partial K}{\partial q_i}\delta\tau}$$
である。$${\delta q_i=q_i(\tau -\delta\tau, \delta p_i=p_i(\tau -\delta\tau)}$$であり、$${K}$$はこの無限小変換の母関数である。
ところで､正準方程式
$${dq_i=\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial p_i}dt, dp_i=-\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial q_i}dt}$$
は上の式と同じ形である。
よって､時刻$${t+dt}$$における力学変数は､時刻$${t}$$における力学変数より$${\mathscr{H}}$$を母関数とする無限小正準変数によって得ることができる。
したがって､運動は瞬間から次の瞬間への無限小変換を次々に続けて行った結果と考えることができる。
さて
運動は無限小変換を続けて行った結果である。
正準変換に対する不変量は運動の間不変ということになる。
よって
位相空間の点が正準方程式に従って動くとき､位相空間内の閉曲面を考えると､運動とともにその面は移り形も変わるが､その中に含まれる体積は不変である。（リウビルの定理）