【院試解答】東大院 工学系 数学 2024年度 第2問【スペクトル分解】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2024年度の数学（一般教育科目）第2問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

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©︎ 2024 院試対策室, GOSHOURAKU Hirokouji

#大学数学 #院試過去問 #院試解答 #東大院試 #線形代数 #固有空間 #スペクトル分解

I.

解答

固有値を$${\lambda}$$，単位行列を$${\bm{I}}$$として，固有方程式

$$
\det(\lambda\bm{I}-\bm{A})=0
$$

を解く．ここで

$$
\begin{aligned}
\det(\lambda\bm{I}-\bm{A})
&=\begin{vmatrix}
\lambda & -1 & -2\\
-1 & \lambda & -2\\
-2 & -2 & \lambda-3
\end{vmatrix}\\
&=\lambda^2(\lambda-3)-4\times 2-4\lambda\times 2-(\lambda-3)\\
&=\lambda^3-3\lambda^2-9\lambda-5\\
&=(\lambda+1)^2(\lambda-5)
\end{aligned}
$$

であるから，固有値は$${\lambda_1\lt\lambda_2}$$とすると

$$
\begin{gathered}
\lambda_1=-1, & \lambda_2=5
\end{gathered}\tag{答}
$$

である．

解説

固有値を求める基本的な問題です．ここを間違えると後の問題も間違ってしまうので，計算ミスをしないよう慌てず取り組みましょう．