【院試解答】東大院 工学系 数学 2017年度 第2問【対角化】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2017（平成29）年度の数学（一般教育科目）第2問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

問題PDF

この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

I.

解答

3次単位行列を$${\boldsymbol{I}}$$とすると，固有方程式は

$$
\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=0
$$

である．ここで

$$
\begin{aligned}
\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})
&=\begin{vmatrix}
\lambda-3&0&-1\\
1&\lambda-2&1\\
2&2&\lambda-1
\end{vmatrix}\\
&=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)
\end{aligned}
$$

であるから，行列$${\boldsymbol{A}}$$の固有値$${\lambda}$$は

$$
(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)=0
$$

$$
\therefore \lambda=1,2,3\tag{答}
$$

である．