一般化横運動量依存パートン分布関数(GTMD)の摂動計算（グルーオンのLO）

ここでは前回のクォークGTMDに引き続きグルーオンGTMDを摂動論を使って少し展開してみます
前回の記事は以下のものです

グルーオンGTMD

ではまずグルーオンGTMDの定義から見ていきます。パートン分布関数(PDF)の一般化として定義されていまして、以下のような定義になっています

$$
\begin{aligned}
W_{\Lambda,\Lambda'}^{g \, [i j]} (P,\Delta,x,\vec{k}_\perp) =&
\frac{1}{\bar k^+} \int d\bar k^- \int \frac{d^4 z}{(2\pi)^4} \, e^{i k \cdot z}\,
\\ & \times \langle p', \lambda' | \, G_a^{+ i}(- \tfrac{z}{2}) \, {\cal W}_{ab} (- \tfrac{z}{2}, \tfrac{z}{2}) \, G_b^{+ j}(\tfrac{z}{2})\, | p, \lambda \rangle
\end{aligned}
$$

今回もlight coneゲージを取り、ウィルソンラインは$${{\cal W}_{ab}=\delta_{ab}}$$となります
また$${G_a^{+ i}=\partial^+ A^i}$$となります

前回とは異なり、今回は場を運動量表示にして計算していくのでその変形も書いておきます

$$
\begin{aligned}
W^{ij}_{\Lambda'\Lambda} &= \frac{1}{\bar k^{+}}\int d \bar{k}^- \int\frac{d^4z}{(2\pi)^4}\,e^{i \bar k\cdot z}\,\langle p'\,\Lambda'|\partial^+ A^{i}_a\left(-\tfrac{z}{2}\right) \partial^+ A^{j}\left(\tfrac{z}{2}\right)_a |p,\Lambda\rangle \\ &= \frac{1}{\bar k^{+}}\int d \bar{k}^- \int\frac{d^4z}{(2\pi)^4}\,e^{i \bar k\cdot z}\,\langle p',\Lambda'|\int \frac{d^4 k_1}{(2\pi)^4} k_1^+ e^{-i k_1 \cdot \left(-\frac{z}{2}\right)} A^{i}_a(k_1) \\& \quad \times \int\frac{d^4 k_2}{(2\pi)^4} k_2^+ e^{-i k_2 \cdot \left(\frac{z}{2}\right)} A^{j}_a(k_2) |p,\Lambda\rangle \\ &= \frac{1}{\bar k^{+}}\int d \bar{k}^- \int \frac{d^4 k_1}{(2\pi)^4} k_1^+\,\int\frac{d^4 k_2}{(2\pi)^4} k_2^+ \\& \quad \times \delta^{(4)}\left(\bar k - \frac{-k_1+k_2}{2}\right)\langle p',\Lambda'|A^{i}_a(k_1) A^{j}_a(k_2) |p,\Lambda\rangle
\end{aligned}
$$

LOの導出

ではここからLeading Order(LO)の導出を見ていきます
今回はグルーオンの寄与のみを見ていきます
クォークからくる寄与は練習問題としておきます（さぼっているだけ）

この寄与は以下のファインマン図により表せます

相互作用項

GTMDのLOの計算では、全ての場の縮約を行わないため、相互作用項の中のどの場を残すかを考えないといけないのです
ですが位置座標表示のままですと微分があるため全ての場を同じように取り扱えず、たくさんの場合を考えないといけなくなります
運動量表示に移りますと微分は単なる運動量の掛け算になるので、全ての場を同じように取り扱うことができます

ではグルーオンの３点相互作用項を見ていきます
相互作用は以下のように書けます

$$
\begin{aligned}
S_{int3} &= -g_s \int d^4x\, f^{abc} \partial^\mu A^\nu_{a} A_{b,\mu} A_{c, \nu} \\ &= -g_s f^{abc} \int d^4x \int \frac{d^4 k_1}{(2\pi)^4} e^{-ik_1 x } \int \frac{d^4 k_2}{(2\pi)^4} e^{-ik_2 x } \int \frac{d^4 k_3}{(2\pi)^4} e^{-ik_3 x }\, \\ & \times V(k_1,k_2,k_3)^{\alpha,\beta,\gamma} A_{a,\alpha}(k_1) A_{b,\beta}(-k_1-k_3) A_{c, \gamma }(k_3) \\ &= g_s f^{abc} \int \frac{d^4 k_1}{(2\pi)^4} \int \frac{d^4 k_3}{(2\pi)^4} \\ &\times\frac{1}{6} V(k_1,-k_1-k_3,k_3)^{\alpha,\beta,\gamma} A_{a,\alpha}(k_1) A_{b,\beta}(-k_1-k_3) A_{c, \gamma }(k_3) \end{aligned}
$$

ここで、

$$
V(k_1,k_2,k_3)^{\alpha,\beta,\gamma} = g^{\alpha\beta} \left(k_1 - k_2\right)^\gamma + g^{\beta\gamma} \left(k_2 - k_3\right)^\alpha + g^{\gamma\alpha} \left(k_3 - k_1\right)^\beta
$$

となっていまして、これは標準的な教科書に書いてある運動量表示のファインマン則です

因子$${\frac{1}{6}}$$は以下のようにローレンツ添え字を対称化することで出てきます

$$
\begin{aligned} g_s f^{abc} \partial^\gamma A_\alpha^{a} A_{\beta}^b A_{\gamma}^c g^{\alpha\beta} &= \frac{g_s f^{abc}}{6} \left[ g^{\alpha\beta} \left(\partial^\gamma A^a_\alpha\right) A_{\beta}^b A_{\gamma}^c - g^{\alpha\beta} A^a_\alpha \left(\partial^\gamma A_{\beta}^b\right) A_{\gamma}^c \right. \\ &\quad \left. + g^{\beta\gamma} \left(\partial^\alpha A_{\beta}^b\right) A_{\gamma}^c A^a_\alpha - g^{\beta\gamma} A_{\beta}^b \left(\partial^\alpha A_{\gamma}^c\right) A^a_\alpha \right. \\ &\quad \left. + g^{\gamma\alpha} \left(\partial^\beta A_{\gamma}^c\right) A_\alpha^{a} A_{\beta}^b - g^{\gamma\alpha} A_{\gamma}^c \left(\partial^\beta A_\alpha^{a} \right) A_{\beta}^b \right] \end{aligned}
$$

これは結局場を縮約する時の組み合わせによる因子と相殺します

場の縮約

次に、運動量空間での場の縮約を考えます
これは前回の位置座標での縮約から求められまして以下のようになります

$$
\begin{aligned} \langle A_\mu(k) A_\nu(l) \rangle_0 &= \int d^4 x\, e^{ik x} \int d^4 y\, e^{il y} \langle A_\mu(x) A_\nu(y) \rangle_0 \\ &= \int d^4 x\, e^{ik x} \int d^4 y\, e^{il y} \, i \int \frac{d^4 q}{(2\pi)^4} e^{-iq(x-y)} \frac{d_{\mu\nu}(q)}{q^2+i\epsilon} \\ &= i (2\pi)^4 \delta^{(4)}(l+k) \frac{d_{\mu\nu}(k)}{k^2+i\epsilon} \end{aligned}
$$

行列要素

これにより、GTMD内のグルーオン場の行列要素部分は次のようになります

$$
\begin{aligned}
&\langle p',\Lambda'|A^{i}_a(k_1) A^{j}_a(k_2) |p,\Lambda\rangle \\ &= g_s^2 f^{abc} f^{a b'c'} \int \frac{d^4 k'_1}{(2\pi)^4} \int \frac{d^4 l_1}{(2\pi)^4} \, V(k'_1,-k'_1- l_1,l_1)_{i',\beta,\gamma} \frac{d^{i i'}(k_1)}{k_1{}^2+i\epsilon} \\ &\quad \times \int \frac{d^4 k'_2}{(2\pi)^4} \int \frac{d^4 l_2}{(2\pi)^4} \, V(k'_2,-k'_2- l_2,l_2)_{j',\beta',\gamma'} \frac{d^{j j'}(k_2)}{k_2{}^2+i\epsilon} \\ &\quad \times i (2\pi)^4 \delta^{(4)}(-l_1 - k'_1 -l_2 - k'_2) \frac{d^{\beta \beta'}(-l_1 - k'_1)}{(-l_1 - k'_1)^2+i\epsilon} \delta^{bb'} \\ &\quad \times \langle p',\Lambda'|A^{\gamma}_c(l_1) A^{\gamma'}_{c'}(l_2) |p,\Lambda\rangle \end{aligned}
$$

ここで、$${k'_1}$$と$${k'_2}$$の積分を実行すると、

$$
\begin{aligned}
&\langle p',\Lambda'|A^{i}_a(k_1) A^{j}_a(k_2) |p,\Lambda\rangle \\
&= -i g_s^2 f^{abc} f^{a b c'} \int \frac{d^4 l_1}{(2\pi)^4} \, V(-k_1, k_1- l_1,l_1)_{i',\beta,\gamma} \frac{d^{i i'}(k_1)}{k_1{}^2+i\epsilon} \\ &\quad \times \int \frac{d^4 l_2}{(2\pi)^4} \, V(-k_2,k_2- l_2,l_2)_{j',\beta',\gamma'} \frac{d^{j j'}(k_2)}{k_2{}^2+i\epsilon} \\ &\quad \times (2\pi)^4 \delta^{(4)}(-l_1 + k_1 -l_2 + k_2) \frac{d^{\beta \beta'}(-l_1 + k_1)}{(-l_1 + k_1)^2+i\epsilon} \\ &\quad \times \langle p',\Lambda'|A^{\gamma}_c(l_1) A^{\gamma'}_{c'}(k_1+k_2 - l_1) |p,\Lambda\rangle \end{aligned}
$$

さらに、

$$
\begin{aligned}
&\langle p',\Lambda'|A^{i}_a(k_1) A^{j}_a(k_2) |p,\Lambda\rangle \\ &= -i g_s^2 f^{abc} f^{a b c'} \int \frac{d^4 l_1}{(2\pi)^4} \, V(-k_1, k_1- l_1,l_1)_{i',\beta,\gamma} \frac{d^{i i'}(k_1)}{k_1{}^2+i\epsilon} \\ &\quad \times V(-k_2,l_1-k_1,k_1+k_2 - l_1)_{j',\beta',\gamma'} \frac{d^{j j'}(k_2)}{k_2{}^2+i\epsilon} \\ &\quad \times \frac{d^{\beta \beta'}(-l_1 + k_1)}{(-l_1 + k_1)^2+i\epsilon} \\ &\quad \times \langle p',\Lambda'|A^{\gamma}_c(l_1) A^{\gamma'}_{c'}(k_1+k_2 - l_1) |p,\Lambda\rangle \end{aligned}
$$

となります
簡単のため$${l_2= k_1+k_2 - l_1}$$ともう一度書き直しておきます
この時グルーオン場の行列要素は

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{l_1^+ l_2^+}\langle p',\Lambda'|l_1^+A^{\gamma}_c(l_1) l_2^+A^{\gamma'}_{c'}(l_2) |p,\Lambda\rangle \\ &= \frac{1}{l_1^+ l_2^+} \langle p',\Lambda'| \int d^4 x\, e^{il_1 x} \partial^+ A^{\gamma}_c(x) \int d^4y\, e^{il_2 y} \partial^+A^{\gamma'}_{c'}(y) |p,\Lambda\rangle \\ &= \frac{1}{l_1^+ l_2^+} \int d^4 b \int d^4r\, e^{il_1 (b-r/2)} e^{il_2 (b+r/2)} \\& \quad\times \langle p',\Lambda'| \partial^+A^{\gamma}_c(b-r/2) \partial^+A^{\gamma'}_{c'}(b+r/2) |p,\Lambda\rangle \\ &= \frac{1}{l_1^+ l_2^+} \int d^4 b \int d^4r\, e^{il_1 (b-r/2)} e^{il_2(b+r/2)} e^{i(p-p')b} \\& \quad\times\langle p',\Lambda'| \partial^+A^{\gamma}_c(-r/2) \partial^+A^{\gamma'}_{c'}(r/2) |p,\Lambda\rangle \\ &= \frac{1}{l_1^+ l_2^+} \int d^4 b \int d^4r\, e^{i(l_1+l_2+ p-p')b} e^{-i(l_1 - l_2)(r/2)} \\& \quad\times\langle p',\Lambda'| \partial^+A^{\gamma}_c(-r/2) \partial^+A^{\gamma'}_{c'}(r/2) |p,\Lambda\rangle \end{aligned}
$$

と求まりまして、これで行列要素の計算はおわりました

残りの運動量積分

では残りのGTMDの運動量の積分を見ていきます
ここで$${k=\frac{-k_1+k_2}{2}, \Delta=-(k_1 + k_2)}$$と書き直すと

$$
\begin{aligned}
&\int \frac{d^4 k_1}{(2\pi)^4} k_1^+ \int\frac{d^4 k_2}{(2\pi)^4} k_2^+ \delta^{(4)}\left(\bar k - \frac{-k_1+k_2}{2}\right) \\ &= \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \int\frac{d^4 \Delta}{(2\pi)^4} \sqrt{k^{+2}-\frac{\Delta^{+2}}{4}} \, \delta^{(4)}\left(\bar k - k\right) \end{aligned}
$$

$${k_1 = -\bar k - \frac{\Delta}{2}, k_2 = \bar k - \frac{\Delta}{2}}$$と変更しまして、GTMDは

$$
\begin{aligned} W^{ij}_{\Lambda'\Lambda} &= \frac{1}{\bar k^{+}} \int d \bar{k}^- \int\frac{d^4 \Delta}{(2\pi)^4} \sqrt{\bar k^{+2}-\frac{\Delta^{+2}}{4}} \frac{1}{(2\pi)^4} \langle p',\Lambda'|A^{i}_a(k_1) A^{j}_a(k_2) |p,\Lambda\rangle \\ &= \frac{1}{\bar k^{+}} \int d \bar{k}^- \int\frac{d^4 \Delta}{(2\pi)^4} \sqrt{\bar k^{+2}-\frac{\Delta^{+2}}{4}} \\ & \quad \times \ \frac{1}{(2\pi)^4} (-i g_s^2) f^{abc} f^{a b c'} \int \frac{d^4 l_1}{(2\pi)^4} \, (-k_1, k_1- l_1,l_1)_{i',\beta,\gamma} \frac{d^{i i'}(k_1)}{k_1{}^2+i\epsilon} \\ &\quad \times V(-k_2,l_1-k_1,-\Delta- l_1)_{j',\beta',\gamma'} \frac{d^{j j'}(k_2)}{k_2{}^2+i\epsilon} \frac{d^{\beta \beta'}(-l_1 + k_1)}{(-l_1 + k_1)^2+i\epsilon} \\ &\quad \times \frac{1}{l_1^+ l_2^+} \int \frac{d^4r}{(2\pi)^4} \, e^{i\frac{-l_1 + l_2}{2} r} \langle p',\Lambda'| \partial^+A^{\gamma}_c(-r/2) \partial^+A^{\gamma'}_{c'}(r/2) |p,\Lambda\rangle \end{aligned}
$$

と、求まりました

$${b}$$と$${\Delta}$$を積分すると、$${\Delta = p - p'}$$となるため、

$$
\begin{aligned} W^{ij}_{\Lambda'\Lambda} &= (-i g_s^2) f^{abc} f^{a b c'} \frac{ k_1^+ k_2^+ }{\bar k^{+}} \int d \bar{k}^- \\& \quad \times \int \frac{d^4 l_1}{(2\pi)^4} \, V(-k_1, k_1- l_1,l_1)_{i',\beta,\gamma} \frac{d^{i i'}(k_1)}{k_1{}^2+i\epsilon} \\ &\quad \times V(-k_2,-l_2+k_2,l_2)_{j',\beta',\gamma'} \frac{d^{j j'}(k_2)}{k_2{}^2+i\epsilon} \frac{d^{\beta \beta'}(l_1 - k_1)}{(l_1 - k_1)^2+i\epsilon} \\ &\quad \times \frac{1}{l_1^+ l_2^+} \int \frac{d^4r}{(2\pi)^4} \, e^{i\frac{l_1 + l_2}{2} r} \langle p',\Lambda'| \partial^+A^{\gamma}_c(-r/2) \partial^+A^{\gamma'}_{c}(r/2) |p,\Lambda\rangle \end{aligned}
$$

と表示できます

構造関数

グルーオンはSU(3)のゲージ場で、SU(3)の構造関数は次のようなカシミア演算子を持っています

$$
f^{abc} f^{abc'} = C_A \delta_{cc'}
$$

結果

さらに$${k_1}$$と$${l_1}$$の符号を反転させると、$${l_1 - l_2 = \Delta}$$となり、これにより$${V(-k_1,\dots)}$$は$${-V(-k_1,\dots)}$$に、$${\frac{1}{l_1^+}}$$は$${-\frac{1}{l_1^+}}$$に変わります

最終的に、

$$
\begin{aligned} W^{ij}_{\Lambda'\Lambda} &= (-i g_s^2) C_A \frac{ k_1^+ k_2^+ }{\bar k^{+}} \int d \bar{k}^- \int \frac{d^4 l_1}{(2\pi)^4} \, V(-k_1, k_1- l_1,l_1)_{i',\beta,\gamma} \frac{d^{i i'}(k_1)}{k_1{}^2+i\epsilon} \\ &\quad \times V(-k_2,-l_2+k_2,l_2)_{j',\beta',\gamma'} \frac{d^{j j'}(k_2)}{k_2{}^2+i\epsilon} \frac{d^{\beta \beta'}(l_1 - k_1)}{(l_1 - k_1)^2+i\epsilon} \\ &\quad \times \frac{1}{l_1^+ l_2^+} \int \frac{d^4r}{(2\pi)^4} \, e^{i\frac{l_1 + l_2}{2} r} \langle p',\Lambda'| \partial^+A^{\gamma}_c(-r/2) \partial^+A^{\gamma'}_{c}(r/2) |p,\Lambda\rangle \end{aligned}
$$

と求まりました
おつかれさまでした

終わりに

今回はグルーオンのGTMDについて摂動展開を見てきました。クォークの場合とは異なり運動量表示での計算を行いました。今回の結果も前回の論文の結果を修正すると同じになると思います。論文は次元解析すると係数が間違っていまして自分でちゃんとした導出が必要です。この記事の計算間違いがないか確認する必要があるかもしれません。