Spinoza Note 19: [定理6] 実体の独立性

寄り道したが定理に戻る。次は定理6だ。

Una substantia non potest produci ab aliâ substantiâ.

Eliot訳：One substance cannot be produced by another substance.
Elwes訳：One substance cannot be produced by another substance.
畠中訳：一の実体は他の実体から産出されることが出来ない
高桑訳：一つの実体は、他の実体から産み出されることは出来ぬ。

定理6を定理2，定理3により証明する過程を追ってみよう。まず定理6を論理式で表現する：「x と y が相互に異なる実体なら、x は y の原因でなく、また y は x の原因でない。」

P6. ∀x. ∀y. [ is-substance( x ) ∧ is-substance( y ) ∧ x ≠ y ⇒
                ￢ is-cause-of( x, y )  ∧ ￢ is-cause-of( y, x )  ]

次の定理2を用いて定理6をP6aのように変形する：

P2. ∀x.∀y.[ is-substance( x ) ∧ is-substance( y )∧ x ≠ y ⇒
                  ￢ ∃z.[ is-common-to( z, x, y ) ]

P6a. ∀x. ∀y. [ ￢ ∃z.[ is-common-to( z, x, y ) ] ⇒  
              ￢ is-cause-of( x, y )  ∧ ￢ is-cause-of( y, x ) ]

以下の定理3を参照し、P6a の前件を書き換え、P6bを得る：

P3. ∀x.∀y.[ ￢∃z.[ is-common-to( z, x, y ) ] ⇒
                ￢ is-cause-of( x, y ) ∧ ￢ is-cause-of( y, x ) ]

P6b. ∀x. ∀y. [ ￢ is-cause-of( x, y ) ∧ ￢ is-cause-of( y, x ) ⇒
              ￢ is-cause-of( x, y )  ∧ ￢ is-cause-of( y, x )  ]

上のように変換され、前件と後件が一致し、証明が完了した。問題なく証明できた。定理6の系を素通りして次に進む。