位置について

こんばんは, pyt-314です. さて, 論文等々が忙しいですが相変わらずなんとか書いてみようかと思います.
 
ということで, 今回のテーマ, 位置についてです. よーい, ドン!とはいきません. 私はこの前, 時間について考えました. そして, 虚数時間を採用する意義も簡単に説明したりしました. きしばちょふさんも同じようなテーマを考えてみたようなので, ぜひぜひ読んでみてください. さて, 話を戻して, どこかでも書きましたが, 私は普段時空をまとめて扱っています. その中で, 時間のみ考えられたわけです. となると, 残りの空間についても考えなければなりません. ということで, 位置についてです. 時間では, その幅自体を時間としていましたので, 幅自体についてならば空間について考えるはずですが, 今回はある一点に対して考えてみます. とはいえ議論自体は幅自体について考えます. 集合論とか位相空間論の話を使えばできてしまいますからね.
空間の定義は, 位相空間論から根本のアイデアを借りさせていただきたいかとおもいます, 返すつもりはありませんが. 位相空間論は, まさに集合を空間にする魔法みたいなものです. 集合に対して, 開集合という, ある種の近さやラベルみたいなものを示す集合を与えます. この集合(not開集合)が, 一定の条件を満たすことによって, その集合を位相空間などと言ったりするようになるのです. つまり, 距離の近い/遠いを表現するために, ちょっとした条件を満たすグループを事前に決めてしまうのです! これがだいたい位相空間のアイデアです. 位相空間論は, 本当はもっといろいろなことが詰まっているのですが, ここではいったんこれで十分です. 位相空間論についての説明が済んだので, ほしい特性について考えていきましょう. まず, 私たちの住む時空は, 光の土俵です. どうやらそう考えたらうまく行くらしいので, そこは光速度不変の原理をお借りします. そして, 光を適当な方向に動かしてみましょう. “速度は不変”なので, 時間とまとめてみます. どんな集合なのかはまだわかりませんので, 要求から考えていきましょう. まず, 私たちの目などでは, どうしても離散化したものしか見ることができません. しかし, 私達の観測した状態は, 少なくとも空間の一部を含んでいる必要があります. そして, 私たちの肉体的操作に対して, “閉じている”必要性が出てきます. 例えるならば, 首を動かして景色が変わっても, それが世界の一部である必要がある, ということです. 変化の大きさに制限は設けていません. 極端な話, 首を傾けたら色が見えている景色が全く関係のないものになっていても問題ないようにしています. 実際私はそれに近いような経験がありますので, 主観では拒否しても仕方がないのです. とりあえず多少の抜け道はあるものの, 推論できるところはこんな感じです.

ですが.

今日はそれだけでは終わりません. こいつが原因です. 静止したEuclid距離空間もどきで, 時空上の静止した二点の距離を求めてみましょう. 単純な同一地点上での距離をr, x軸, y軸, z軸方向への距離をそれぞれx,y,zと表せば, 距離関数より(ふつうの三平方の定理として)x^2+y^2+z^2=r^2になることはすぐにわかります. では, 次にこのモデル上での距離とは何だったのかを思い出してみましょう. 光の”速度は一定”なのですから, 時間を一度実数t1と置けば, cを光速とした時に, r=ct1となることもわかるかと思います. つまり, 最短となる方向に直線で移動したときの長さみたいなものになります. そして, それは時間と比例しています. 今私達が求めたいのは, 時間とx,y,z軸を組み合わせた時空の二点間で, 光が移動するために必要な距離です. 残り時間とでも表現したらよいでしょうか. それぞれの単体の距離をx,y,z,t, 求めたい結果をrと置きます, 定数として光速をcとすると, t*cでその間に光が移動する距離になることはすぐにわかります. t = 0ならば
r^2 = x^2+y^2+z^2であることは満たしてほしいですね. またt=r/cであるのならば, 光はちょうどその点に到達しているとも考えたいので, (c^2)*t^2=x^2+y^2+z^2も満たすはずです. (c^2)*t^2を右辺に移項すると, 
0 = x^2+y^2+z^2-(c^2)*t^2となります…マイナス…ですがいったん気にしません. この式は, t=0でr^2=x^2+y^2+z^2-(c^2)*t^2を満たしますね! 本当にこんな出し方でいいのだろうか…まったくもって正当性がわからないのですが, とりあえずこの表現は一応使えそう…なようです. ということで, 普通のユークリッド距離として扱いたいのですが-(c^2)*t^2のマイナスが邪魔ですね. おっと, ここで時間(時観)の時に書いた, 例のアレが使えそうです. ハイ, 複素数. 二乗の中でマイナスを作ってあげれば, 普通の平方和として表現できるだろ魂胆です. 話はめちゃくちゃですが, 勝手にまた一つ時間に複素数を採用する有用性を持ち出しました. まあ私は物理学者ではないので, 勝手に都合のいい空言をかいているようなもんですが. ちなみに, ミンコフスキー計量みたいなやつと一致してた気がします. まあそのあとの話はEuclid幾何ではないのですがね…

まあそんなこんなで今日の話はおしまいです. 今晩もお疲れさまでした. ちょっと休んでってね.