高校数学で頭の体操 Vol. 011 【数I：図形の計量、三角比への応用】

皆さま、こんばんは。今日は数1の図形の計量、三角比への応用です。少し、空間図形っぽい問題です。数1もあと少しというところまで来ています。次は相似な図形。その次は球の体積と表面積。これで数1は終わります。

今日は以下のような問いです。

1辺の長さが3の立方体ABCD-EFGHにおいて、頂点Aから△BDEに下ろした垂線AIの長さを求めよ。

図としては以下のような感じ。

解き方ですが、これはこの手の問題に慣れている人じゃないとなかなか思いつかないんじゃないかな？と思います。コツは、四面体ABDEの体積に着目します。

まず、△ABDを底面として、高さをAEとして、四面体ABDEの体積を求めます。これは簡単に求まります。
次に、△BDEを底面として、高さをAIとして四面体ABDEの体積を求めます。ここで、△BDEの面積を予め求めておきます。

そうすると、四面体ABDEの面積と等しいことから、
△ABDの面積✖️AE✖️1/3 = △BDEの面積✖️AI✖️1/3 という等式が成り立ちます。
ここで、AI以外は数値として求まっているので、AIについて解けば答えが求まります。

以下に手書きのノートで解法を記します。

以上です。
頭の体操には丁度良い問題でした