インドラの真珠：複素関数(3)

2022年2月23日 07:16

　複素関数による点の写されかたを複素平面上で実験します。ここで確かめたいのは、複素関数によって、図が「対称(Symmetry」に写されるということです。この「対称」というのは、線対称・点対称にかぎらず、平行移動や拡大・縮小、円に関する鏡映も含みます。
　日常的な「対称」より広い意味です。そのため、D.マンフォード他著「インドラの真珠」（小森洋平訳）では、「対称」という言葉ではなく、「シンメトリー」と書いています。

このツールでは，スティックラー博士（「インドラの真珠」に登場するキャラクタ）の絵を写します。

　たとえば上の図ですが、f(z)=cz という関数によりスティックラー博士は2倍に拡大されています。cは実数で c=2 です。緑の点をドラッグして，cを虚数にすると，スティックラー博士の向きが変わります。

複素数の積は、原点からの距離をｃの絶対値倍し、偏角の分だけ回転するのでしたから，スティックラー博士全体がそのように拡大・回転するわけです。この変換（図形の移動）を「シンメトリー」といっています。
　f(z)の式は、10種類用意してあります。f(z) の z が複素数です。c,dは複素数の定数です。いままでにやったものの他に，$${f(z)=c(z-d)+d}$$ と $${f(z)=e^{\frac{2}{5}\pi i }z}$$ があります。
$${f(z)=c(z-d)+d}$$ は，「z を −d だけ平行移動し，cによって拡大・縮小・回転」し，dだけ平行移動して戻す」ということです。わかりやすいように，dは固定し，c の値を変更してみましょう。下図左では，まず $${-(1+i)}$$ だけ平行移動してAに写り，$${i}$$ をかけて90°回転し（cの点に重なる）$${1+i}$$ 平行移動します。下図右では， $${-(1+i)}$$ だけ平行移動してAに写り，$${-1+i}$$ をかけて135°回転して$${\sqrt{2}}$$倍拡大し（Bの点），$${1+i}$$ 平行移動します。

　$${f(z)=e^{\frac{2}{5}\pi i }z}$$ は，「複素関数(2)」で説明したように，オイラーの公式によると$${e^{i \theta}=\cos\theta+i \sin \theta}$$ でしたから，これは $${\dfrac{2}{5}\pi}$$ すなわち72°の回転を表します。係数に$${c,\ d}$$ はありませんから，点c, d の位置は無関係です。

それぞれの関数について，c, d が含まれるものは係数をいろいろ変えて実験してみましょう。

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ここからあとは，Cinderellaを使って，ボタンにない関数を試してみる方法を説明します。たとえば，「複素関数(2) 」にあった，sin や cos はどうなるでしょうか。Cinderellaをまだ持っていない人はここからダウンロード・インストールしてください。詳しくは，CinderellaJapan のページにどうぞ。

まず，下のツールから，磁石アイコンの「グリッドにスナップする」をクリックします。座標軸と方眼が背景に表示されます。次に，上の作図ツールから「点を加える」（2段目の左から5番目）を選んで，画面上の適当なところでクリックして点を取ります。名前A は自動的につきます。点が取れたら，「要素を動かす」ツール（2段目一番左）で選択モードにもどしておきます。選択モードでは作図した点をドラッグして動かすことができます。

画面上方のメニューから，「スクリプト」「CindyScript」を選び，スクリプトエディタを開きます。左側に，「Event」などの文字が並んでいます。これをスロットといいますが，表示されていない場合は境界線をドラッグすると現れます。このなかの「Draw」を選び，右の「クリックしてスクリプトを書き始めてください」と書かれたウィンドウをクリックします。
　初めに，スティックラー博士のデータを書きます。次のコード（データが書かれている）をコピーしましょう。

stickler=[[0.856 + i*0.04,0.648 + i*0.04],[0.648 + i*0.04,0.584 + i*0.504],[0.584 + i*0.504,0.312 + i*0.84],[0.312 + i*0.84,0.2 + i*0.408],[0.2 + i*0.408,-0.024 + i*0.12],[-0.024 + i*0.12,0.136 + i*0.024],[0.312 + i*0.84,0.28 + i*1.512],[0.28 + i*1.512,0.536 + i*1.208],[0.536 + i*1.208,0.68 + i*1.16],[0.68 + i*1.16,0.824 + i*1.32],[0.28 + i*1.512,-0.056 + i*1.256],[-0.056 + i*1.256,-0.04 + i*1.128],[-0.04 + i*1.128,0.136 + i*0.952],[0.28 + i*1.512,0.28 + i*1.72],[0.28 + i*1.72,0.472 + i*1.752],[0.472 + i*1.752,0.584 + i*1.912],[0.584 + i*1.912,0.568 + i*2.152,0.572 + i*2.076,0.576 + i*2.032],[0.568 + i*2.152,0.408 + i*2.344],[0.408 + i*2.344,0.232 + i*2.344],[0.232 + i*2.344,0.072 + i*2.2],[0.072 + i*2.2,0.056 + i*1.96],[0.056 + i*1.96,0.136 + i*1.816],[0.28 + i*1.72,0.136 + i*1.816],[0.572 + i*2.076,0.64 + i*2.076],[0.64 + i*2.076,0.64 + i*2.012],[0.64 + i*2.012,0.576 + i*2.032],[0.568 + i*2.152,0.584 + i*1.912]];

このあとに，次のコードを書きます。（ここからコピーできます）

size=1;
z=complex(A);
st=apply(stickler,s,apply(s,#*size+z));
apply(st,s,draw(gauss(s_1),gauss(s_2)));

size はスティックラー博士のサイズです。size=2 にすれば2倍の大きさになります。スクリプトを書き換えるときは，行末のセミコロンを書き落とさないようにしましょう。
z=complex(A)　は，点Aの座標を複素数に変換して z に代入します。
st=apply(stickler,s,apply(s,#*size+z)); 　は，スティックラー博士のデータ（リストになっている）のそれぞれ（＃）をsize 倍して，zに加えています。つまり，点Aに表示されるようにしています。
apply(st,s,draw(gauss(s_1),gauss(s_2)));　では，st の各要素を gauss() でxy座標に変換してdrawで表示しています。

このあと，関数を定義し，その像を表示します。たとえば，次のものはzを2倍する関数です。

f(z):=2*z;
stmap=apply(st,s,apply(s,f(#)));
apply(stmap,s,draw(gauss(s_1),gauss(s_2)));

f(z):= 　で右辺に式を書くと関数が定義できます。コロンと等号です。末尾にセミコロンが必要です。
次の2行で，st の各要素にこの関数を適用(apply)し，xy座標に変換して描画しています。
Shift+Enter で実行すると，スティックラー博士が，原点中心に2倍に拡大されます。

係数c，d をインタラクティブに決めるには，作図ツールで点B,，C，D を追加しておき，次の2行で係数を決めます（名前を対応させるためにDまでとり，点Bは使わないようにします）この2行は関数定義の前に書きます。

c=complex(C);
d=complex(D);

先ほどの「複素関数(3)」Webツールのボタンにある関数定義は順に，次のようになっています。かけ算ではかけ算記号 * が必須です。分数は / で，conjugate(z)はzの共役複素数を得る関数です。累乗の指数は ^() で括弧の中に指数を書きます。pi は円周率。i は虚数単位の$${i}$$ です。 exp(1) はネピア定数 e の取得です。関数の式で e を使うときに必要です。

e=exp(1);
f(z):=c*z;
f(z):=z+d;
f(z):=conjugate(z);
f(z):=i*z;
f(z):=c*z+d
f(z):=e^(2/5*pi*i)*z;
f(z):=c*(z-d)+d;
f(z):=2*z;
f(z):=1/z;
f(z):=1/conjugate(z);