インドラの真珠：２つのアフィン変換と極限集合

2022年3月16日 08:54

回転、拡大・縮小に平行移動を加えたものをアフィン変換といいます。前の節では２つの相似変換に対して極限集合を描きましたが、これをアフィン変換にするとどんな図形が描かれるでしょうか。
Cinderellaでは，３つの点の組を対応させることでアフィン変換を定義します。これらの点を移動するとインタラクティブに定義を変えることができるわけです。

ます，上のスライダで反復回数を増やしてみましょう。

A〜Fの点の位置を変えると図が変わります。

始点は，もとになる点で，この点をまず変換し，変換先の点をまた変換し，と繰り返しています。２つのアフィン変換のどちらを選ぶかは，ランダムに決めています。
一見，なんの面白みもない図ですが，フラクタルのひとつとして有名な「バーンズリーのシダ」はこのアフィン変換を使って作られるのです。それを次の節で紹介しましょう。

Cinderellaには，プログラムを書かなくてもインタラクティブにアフィン変換を定義するツールがあり，それを繰り返す反復関数系のツールも用意されています。ただし，それで作図したものはWeb上で動かすことができません。それで，上のものはプログラムを書いています。CindyScriptには，点の対応を引数としてアフィン変換の行列を返す関数が用意されているのでそれを使っています。それほど難しいプログラムにはならないので紹介しておきましょう。

まず，A〜Lの10個の点をとっておきます。点の名前は自動的に付けられますが，IとJはスキップされます。
スクリプトエディタを開いて次のスクリプトを実行します。

n=10000;
z=complex(L);
// A,B,C→D,E,F
ga(z):=complex(map(A,B,C,D,E,F)*[gauss(z).x,gauss(z).y,1]);
// A,B,C→G,H,K
gb(z):=complex(map(A,B,C,G,H,K)*[gauss(z).x,gauss(z).y,1]);
repeat(n,s,
if(randominteger(2)==0,
z=ga(z);
,
z=gb(z);
);
draw(gauss(z),size->1,border->false,color->(1,0,0));
);

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これはプログラムで描画しているので，ファイルメニューからHTMLに書き出せばCindyJSでWeb上で動かすことができます。

ここからは，プログラムを書かずに，Cinderellaでこの図を作る方法を説明します。
Cinderellaでは、３組の点の対応によりアフィン変換が定義できます。
まず、折れた釘のような線分を３組作ります。（実際には線分は使わないので，点をとるだけでもよいのですが，対応を分かりやすくするために線分にしています。）