名古屋市立大学2012年：正八面体
問題
１辺の長さが $${a}$$ の正八面体の体積と，この八面体に外接する球，内接する球の半径を求めよ。
授業でも扱いそうな問題です。教科書や傍用問題集にあるのは正四面体の体積と内接する球の半径を求める問題。こちらは正八面体。いずれも，図形をイメージできることが大切です。その上で，必要な長さを計算します。
では，次の図でどうでしょうか。この図を見て，体積，内接球の半径を求められるでしょうか。
図を回転して，補助線を引き，必要な長さを計算していくのですが，それがイメージしやすいようなWeb上のアプリケーションを作りました。
次の画面が出ます。ボタンが表示されない場合は，再読み込みをしてください。
左側の２つの円は「円形スライダ」で，緑の点をドラッグすると座標軸の回りに回転することができます。つまり，図形を回転できる。視点を変えると思えばよいでしょう。「補助線ボタン」を押すと図のように赤の補助線が引かれます。外接・内接球の中心がOです。「外接球」ボタンを押すと外接球が表示されます。
球面の描画に少し時間がかかるので，球を表示したままスライダを動かすと，動きが鈍くなります。もう一度ボタンを押せば球は非表示になります。
「内接球」ボタンを押すと内接球が表示されます。
視点を変えて，内接球の半径を求めるために適した図を探しましょう。たとえば次の図です。内接する球と正八面体は，面で接している，ということがわかれば，この図に到達するでしょう。
※図はCinderella（CindyJS）で作成しています。