Cinderellaで数学：いろいろな曲線：ロピタルの円錐曲線作図器
ロピタルの著書「円錐曲線の解析論」の中にある問題です。「曲線の事典」（礒田正美他編著：共立出版 2009）の第2章にあります。
放物線
放物線上の点Aに接する放物線の接線 $${t}$$、および放物線の軸に平行な直線$${\ell}$$ が与えられている。また直線 $${\ell}$$ 上にAG＝$${k}$$ が与えられている。このとき，この放物線を作図せよ。
一度読んだだけではわかりにくいですね。
「交わる2直線がある。一方に接し，もう一方に平行な軸を持つ放物線を作図せよ。」ということです。
次の説明と作図器の写真，図が載っています。
直線$${\ell}$$と接線$${t}$$となす角を$${\alpha}$$とするとき，点Gを通る半直線と直線$${\ell}$$となす角が$${\alpha}$$となるように直線$${s}$$を引く。直線$${s}$$上を動く点Dを通り，直線$${\ell}$$に平行な直線上に∠DAM=$${\alpha}$$をみたすように点Mをとる。点Dが直線$${s}$$上を動くとき，点Mの軌跡は放物線になる。
作図器の写真と図が上下逆になっています。それだけでなく，点の対応がわかりにくいのですが（あとでわかります）とりあえず，右の図を見てCinderellaで作図しましょう。
点の名前は作図順なので，図とは対応しません。「∠DAM=$${\alpha}$$ となるように」するために補助線を引いています。同じ角をとる作図は，中学校での作図でやりますね。次の手順で描画しました。
① 背景のy軸に合わせて直線ABを引く（$${\ell}$$ に相当。BはGに相当）
② 斜めの直線CDを引く
③ 「点Gを通る半直線と直線$${\ell}$$となす角が$${\alpha}$$となるように直線$${s}$$を引く」ために，BCの垂直二等分線を引き，交点F をとる（EはBCの中点）
④ B,Fを通る直線（$${s}$$）を引き，動点G（Dに相当）をとる。
⑤ 直線ABに平行でGを通る直線，線分CG（ADに相当）を引く
⑥ 「∠DAM=$${\alpha}$$ となる」点Mをとるために，Cを中心としてEを通る円を描き，直線CDとの交点Hをとる。また，CGとの交点Kをとる。コンパスツールを使って，EFの長さをとってKを中心に円を描き，交点Lをとる。
⑦ 直線CLを引き，交点Mをとる。（ちょうど図のMと同じになる）
点の名前を元の図のようにして，補助円や補助線を消したのが次の図です。
これと，作図器の写真を比べてみましょう。（再掲）
前述のように，上下が逆です。Web上にある次のページのものも同様ですが，カラー写真で少し分かりやすいので，スクリーンショットをとって180°回転してみました。
作図したものです（再掲）
2枚の透明な板があるのがわかります。台に描かれている線を見ると，接線$${t}$$ の向きが違うのがわかります。上下が逆で$${t}$$ の向きも違うのですから，対応がわかりにくいのは当然ですね。
180°回転した作図器の写真に合わせて，接線の向きを変えたのが次の図です。右上に消さずに残しておいた点Bをドラッグすれば接線の向きを変えられます。
双曲線
（問題）：図のように，長さの等しい2つの線分AA'，BB'がそれぞれの中点で交わるように与えられ，また双曲線の漸近線が与えられているとき，双曲線を作図せよ。
線分 AA'と線分BB'の交点をC（双曲線の中心），直線ABと漸近線の交点をGとする。点Aを中心に回転する直線dがあり，直線d と水平漸近線との交点をKとする。さらに水平漸近線上に HK＝CG となる点Hを通り直線CEと平行な直線を引き，直線と直線d との交点をMとする。直線d が点Aを中心に回転するとき，点Mの軌跡は双曲線になる。
今度は説明もわかりやすく，作図器の写真と図も合っています。放物線のときより作図しやすいでしょう。
動点K（作図順ではL）は直線AB上を動くとして軌跡ツールを使えば双曲線が描かれます。
作図器では透明な板が枠とともに動くようになっています。作図器を模して作ったのが次の図です。（タイトル画面も）
次のページで動かせるようになっています。
線分を棒にする方法は，「交叉平行四辺形を利用した円錐曲線作図器」のページで説明しています。