Cinderellaで数学：いろいろな曲線：シッソイド
「曲線の事典」（礒田正美他・共立出版2009）に掲載されている作図器によるシッソイドを描きます。Web上では，次のページに作図器の写真と説明が載っています。
シッソイドの定義
線分 ABとCDを互いに直角をなす円の直径とする。点EとFは弧BD,BC 上の点であり弧BEとBE の長さが等しくなるようにとる。線分 DCに垂直な線分EGとFHを引き、直線 CEと直線FHの交点をPとする。点Eを動かすとき点Pの軌跡をシッソイドという。
ニュートンやスアルディの時代にはコンピュータはないので，作図器を作って描いたわけですが，まずは，この定義のまま，Cinderellaで描いてみましょう。
まず，磁石アイコンのツールで座標軸と方眼を表示し，スナップモードにしておきます。
① 背景の方眼・軸に合わせて，y軸上にAB，x軸上にCDを，左右上下対称な位置に取った線分を引きます。
② 原点中心にABを直径とする円を描き，左上の円周上に点をとります。（F）
③ 鏡映ツールを選択し，鏡になるものとして線分ABを，映すものとして点Fを選びます。反対側に点Hができます。
④ 垂線を加えるツールを使って，F，Hからx軸に垂線を下します。
⑤ F，Cを線分で結び，交点を取ります。（K）
⑥ 軌跡ツールを選び，動かす点としてＦ，軌跡を描く点としてKを選んで描かれる曲線がシッソイドです。
なお，点の名前は作図手順などによって少し変わるかもしれません。
描いてみるとわかることですが，Fからの垂線はなくてもいいですね。また，点FとHは鏡映ツールでなく，点Bを中心とする円を描いて交点をとってもよいでしょうし，他にも作図手順はあるでしょう。
ところで，この定義には若干補足が必要です。Dで円の接線を引き，直線CKとの交点をＬとします。このとき，CK=FL が成り立ちます。CF=KL としても同じです。（Fを通るx軸に平行な直線を引いてでき三角形とCのところの三角形が合同になります。）
動点Fがy軸より左に来ても同じことが成り立ちます。
したがって，これが成り立てばシッソイドが描けると考えてもよいでしょう。このあとのニュートンの作図器やスアルディの作図器による曲線の解説ではこのことを使っています。
なお，「曲線の事典」には載っていませんが，ディオクレスのシッソイドというものもあります。
ニュートンの作図器
角Kが直角の直角三角形 QRK が与えられており，頂点Qは直線pを動く。また，直線pに直交する直線qについて，2直線の交点をO，HO＝QKをみたす点Hを直線q上にとる。頂点Qが動くとき，直角三角形QRKの辺RKは点Hを常に通るように動く。このとき，線分QKの中点Mは，中心O，直径QKの円に関するシッソイドをかく。また，点Kは直線HOを対称軸とするストロフォイドをかく。
他の作図器と違い，左の図の説明と作図器が合っていないように見えます。Webの方を見ると，「透明な板が」となっています。木枠の中に棒があり，それに透明な板がついています。ちょうど原点の下あたりにある点が動点です。したがって，右の図で点QをOより下に持ってきたときの図が作図器の写真になります。
とりあえず，右図にしたがってCinderellaで作図してみましょう。上記の作図器の説明を読んで，点Qを動かしたときに変化しないものは何かを読み解かなくて葉なりません。始めに三角形QRKとありますが，この三角形は変化しません。すると，HO=QKとなる点Hも変化しない定点ということになります。さらに，このあとの解説を読むと（引用はしませんが）点RはMの軌跡には関係しないのです。単に，作図器にあわせてとったということになります。したがって，次の手順で作図します。
① 座標軸と原点をとる ・・・ 直線を加えるツールで背景に合わせて軸を描く。
② 動点Qをy軸上にとる。
③ 点Hをとる。
④ QHを直径とする円を描く。・・・ QHの中点をとって円を描く。
⑤ HO=QKとなるように④の円周上に点を取る。・・・コンパスツールを使う
⑥ QKの中点を取る。
なお，作図順により，各点の名称は上記のようにはなりません。そのまま続けるか，点を取るごとにインスペクタで名前を変えていきます。あとからまとめて変える方が能率はいいでしょう。次の図は⑥までやったところです。
この状態で，軌跡ツールを選び，動かす点として図のF，軌跡を描く点として図のLを指定してみましょう。
シッソイドが描かれました。前述のように，「直角三角形 QRK」の点Rの位置は軌跡の描画には関係しないのです。
あとは各線分を引き，図のK，Gを通る直線を引きQを中心とする適当な大きさの円を描いて交点としてRに相当する点を取ります。最後に点の名称を変えたり，補助線を消すなど体裁を整えます。
これにいろいろ線を加えて，作図器を模したものを作りました。ストロフォイドも描けます。
スアルディの作図器
図のように、頂点Oが直角のL字定木ROZについて，頂点Oは平面に固定され、頂点Rは中心M，点Oを通る直径OPの円$${\gamma}$$の円周上を動く。他方の頂点Vが直角のL字定木RVKについて，頂点Vは点Oを通るPOに垂直な直線s上を動き，頂点Rを共有する。点Rが円$${\gamma}$$上を動くとき，2つの三角形の交点Zはシッソイドをかく。
こちらの作図器は明快なので描きやすいでしょう。次の手順で描きましょう。
① 座標軸と原点をとる ・・・ 直線を加えるツールで背景に合わせて軸を描く。
② Mを中心とし，原点を通る円を描く。Mはx軸上の適当な位置。
③ ②の円周上に点を取る。一つは原点と反対側の点P，もうひとつは円周上の動点R。
④ P，Rを通る直線とy軸との交点を取る。また，半直線ORを描く。
⑤ 垂線を加えるツールを使って点Zをとる。
なお，作図順により，各点の名称は上記のようにはなりません。そのまま続けるか，点を取るごとにインスペクタで名前を変えていきます。あとからまとめて変える方が能率はいいでしょう。次の図は⑥までやったところです。
この状態で，軌跡ツールを選び，動かす点として図のH，軌跡を描く点として図のLを指定してみましょう。
うまくいったら体裁を整えましょう。直角に交わる直線をL字定木の形にするためには，直線上に点を取り，インスペクタの「表示方法」「端点の処理」で線分にします。
なお，作図器のL字定木はそれぞれ中央に溝が掘ってあって動かせるようになっています。y軸に相当する溝は原点下方しかないので，作図器では下の方しか描くことができません。作図器の写真は次のページにあって，拡大してみることができます。
転がり合う２つの放物線
焦点F，準線dである放物線Pと，焦点F'，準線d'である放物線P'は合同な曲線であり，互いに他の準線上に自身の焦点をもつように接している。
このとき，放物線P'の軸に垂直で焦点F'を通る直線は，焦点Fを中心，準線dに接する円に接する。さらに，焦点F'は放物線P'が動くとき，接線に関して線対称となり，放物線P'の頂点V'はシッソイドをかく。
説明文と作図器の写真，図がありますが，少しわかりにくいでしょう。説明文には条件と性質が書かれていて，どれが「条件」なのかを読み解くのが大変です。写真と図は上下逆さまです。
Web上の写真はこちらです。
説明文は２つの段落からできており，「このとき」で分かれるので，前半が条件，後半が性質と考えるのが普通でしょう。条件または性質を拾い出してみましょう。
① 放物線PとP'は合同。
② 互いに他の準線上に自身の焦点をもつ。
③ 放物線PとP'は接している。
④ 放物線P'の軸に垂直で焦点F'を通る直線は，焦点Fを中心，準線dに接する円に接する。
⑤ 焦点F'は接線に関して線対称。
この「接線」は円の接線ではなく，放物線の接線です。そして，FとF'が線対称です。ここがわかりにくい。
これら全部を条件として作図するのは結構大変です。①と③の条件から②や⑤は性質として出てくるのではないでしょうか。それで作図したのが次の図です。まずy軸を軸とする放物線を描き，点をとって「極線」ツールでで接線を引きます。あとは鏡映ツールで放物線，焦点，頂点を対称移動しました。
④の円は描いていません。しかし，作図器の写真を見ると，焦点Fを中心，準線dに接する円があり，これに接するように棒を回転しているようです。棒は放物線の形をした透明な板についています。そこで，こちらの手順で描いてみましょう。
(1) 焦点を中心とし準線（x軸）に接する円を描く。
(2) 円周上に点を取り極線ツールで接線を描く。
(3) x軸との交点をとる。これがP'の焦点になる。
(4) ②にしたがって，元の放物線の焦点を通り，円の接線に平行な直線を引く。
(5) (4) を準線として放物線ツールで放物線を描く。
(6) 焦点を通り，円の接線に垂直な直線を引き，放物線との交点を求める。これが頂点で，点Eが円周上を動くときの頂点の軌跡を描く。
これが作図器に対応した図です。作図器らしく体裁を整えましょう。
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