Cinderellaで数学：いろいろな曲線：様々な楕円作図器
「曲線の事典」（礒田正美他編著：共立出版 2009）に掲載されている，プロクロス，ダヴィンチ，スコーテンの楕円作図器です。いずれもシンプルな構造で楕円を作図します。
プロクロスの作図器
点A，Bは十字に組み合わされたガイドに取り付けられ，それに沿って滑り動く。2点A，Bを通る直線a上の描画点Pを半直線ABのBの先にとる。このとき、点Pは，軸の長さがそれぞれ 2PA，2PBとなる楕円をかく。
右の図では，「十字に組み合わされたガイド」がx軸，y軸のように直線で描かれていますが，作図器の写真を見てわかる通り，文字通り「十字に組み合わされたガイド」であって短いものです。したがって，線分としてこの２本を描いておきます。また，右の図にある円は必要ありません。この円と点Mは，このあとの解説で，Ｐの軌跡が楕円であることを説明するためのものです。
作図器の動作を考えると，PAとPBの長さは一定であることがわかります。また，ガイドに沿って動かすのは点Aの方であることもわかります。溝に沿った棒があるからです。そこで，軌跡ツールで，動かす点をA，軌跡を描く点をPと指定できるように作図しましょう。点の名前は図に合わせて変え，作図に使った補助円はそのままにしてあります。
軌跡ツールで，動かす点をA，軌跡を描く点をPとすると，楕円の一部が描かれます。点Bが縦の軸より左にある範囲です。
ところで，前述のように，ガイドに沿って動かせるのは，点Aが載っている棒なので，点Aそのものは十字の範囲を少し越えることができます。すると点Bは右の方にも行けるわけです。
点Aを載せる線を線分でなく直線にすると，軌跡ツールで軌跡を描いたときに楕円全体が描かれます。
本では，このあとにＰの軌跡が楕円になる理由を説明しています。ここで，図の円と点Mが使われます。すなわち，△OABは直角三角形で，ABの中点をMとすると$${\rm{OM}=\dfrac{AB}{2}}$$ になるので，Mは円周上を動き，Pの軌跡は，Mによる円を，軸方向にそれぞれ$${\dfrac{\rm{AP}}{\rm{AM}}}}$$倍，$${\dfrac{\rm{BP}}{\rm{BM}}}}$$倍した楕円になる，という説明です。 次の図で確かめましょう。
ダヴィンチの作図器
菱形 OABCがあり，頂点Oは固定。対する頂点Bは点Oを通る直線 r 上を動く。点Bが直線 r 上を動くとき，点Aと点Cは中心O，半径OAの半円をかき，棒 a 上の点Pは（同様に棒b上の点Qは）直線 r を対称軸にもつ楕円の1/4をかく。点E，Fはそれぞれa，bと点Oを通る直線 r に垂直な直線との交点で AE＝CF＝OAとなっている。
作図器の写真を見ると，OABCが菱形かどうかは判然としませんが，AE＝CF＝OAとなるためには菱形である必要があるのです。Cinderellaで作図して，菱形でない場合にどうなるかをやってみるとわかります。
OABCを菱形にするには，OBの垂直二分線を引いて，その上にA，C をとればいいのですが，OABCが菱形になる場合とならない場合を比べられるように，２つの円を用いて作図してみましょう。
① 縦横の直線を背景の座標軸に合わせて描く。線分でも構いません。直線のときと線分のときとでは，軌跡の楕円の描画範囲が変わります。
② 縦の直線上に点をとりBとする。
③ 原点と点Bを中心とする円をそれぞれ描く。
④ 2つ円の交点をとり，A，Cとし，点Bと結んだ直線を描く。
⑤ 点P，Qをとるために，Bを中心とする円をもう一つ描き，④の直線との交点をP，Qとする。
⑥ 軌跡ツールを選び，動かす点としてB，軌跡を描く点としてPを選びます。
次の図が，③の２つの円の半径を同じにした場合で，OABCは菱形になります。楕円は下方まで描かれていますが，下方はBの可動域から外れるので無視します。
次の図は，③の２つの円の半径を変えた場合で，OABCは菱形にならず，軌跡は楕円ではなくなります。（やはり下方は無視します）
スコーテンの作図器
直線g上に固定点Oと可動点B，点Bを通る直線上にOA＝ABをみたす点Aをとる。点Aが点Oを中心に回転するとき，線分BP上の各点で各々楕円をかく。また，AQ＝AB=OAをみたす直線 BP 上の点Qは直線gに垂直で点Oを通る線分をかく。彼らの方法は，前出のプロクロスの場合と実質的に同じである。
これはシンプルなのでCinderellaですぐ描けるでしょう。「可動点B」となっていますが，Cinderellaの用語ではBは従属点です。「点Aが点Oを中心に回転するとき」となっているので，Aが自由点で，上の右図にはありませんが点Oを中心とする円を描いて，その上にAをとります。このことは，作図器の写真からわかります。それから，Aを通る垂線を引き，これを鏡として点Oの鏡映点BをとればAB=OAとなります。点Qは作図上は不要です。
３つの作図器のうち，ダヴィンチのものを模して作りました。（見出し画像）