Cinderellaで数学：いろいろな曲線：転がり合う２つの円錐曲線
「曲線の事典」（礒田正美他編著：共立出版 2009）に掲載されている，「転がり合う２つの円錐曲線：周転曲線」です。
交叉平行四辺形ABCDがある。線分ABは平面$${\pi}$$上に固定され，線分CDは平面$${\pi}$$上にのった平面$${\tau}$$上にある。直線AD と直線BCの交点をPとする。
このあと，楕円の場合と双曲線の場合の２つが書かれていて，それぞれの作図器の写真があるのですが，書かれている条件は全く同じです。次は「楕円の場合」ですが，「楕円」を「双曲線」と置き換えただけで，双曲線の場合の写真と図があります。
点Cが点Bを中心として回転するとき，交点Pは2点A，Bを焦点とする楕円Eをかく。同時に，平面$${\tau}$$上に2点C，Dを焦点とする楕円E'がかかれる。楕円EとE'は点Pを接点として互いに転がり合う。
どこがどうちがうのか，ひとまず楕円の図を描いてみましょう。
楕円の場合
まず，「交叉平行四辺形ABCD」をどう描くかです。交叉平行四辺形は，平行四辺形を対角線で折り曲げた図形で，楕円の図でいうと，AB=CD，AD=BCとなります。これらの条件は，Cinderellaの作図ツールでは「コンパス」を選んで円を描くことで実現できます。次の手順で作図します。
① ABは固定なので，適当な長さの線分を描く。
② Bを中心に円を描き，円周上に点Cをとる。
③ コンパスでABの長さをとり，Cを中心に円を描く。
④ コンパスでBCの長さをとり，Aを中心に円を描き，③との交点をDとする。
⑤ CD，AD，BCを線分で結び，ADとBCの交点をPとする。
⑥ 軌跡ツールを選び，動かす点としてC，軌跡を描く点としてPを選ぶと楕円が描かれる。
楕円はひとつだけで，説明にある「平面$${\tau}$$上に2点C，Dを焦点とする楕円E'」は描かれません。これは，Cinderellaの描画面が$${\pi}$$であり，その上の軌跡が描かれるからです。$${\tau}$$の方は，点Cと同時に動くので，Cinderellaの軌跡ツールでは描かれません。
そこで，次のようにしてもうひとつの楕円も描きます。「2点C，Dを焦点とする楕円」なので，楕円ツールを使って，焦点をC，Dとし通る点としてPを選びます。
インスペクタで色を変え，線の太さもすこし太くして，点Cをドラッグすると，「楕円EとE'は点Pを接点として互いに転がり合う」様子がよくわかります。
双曲線の場合
楕円と同じように作図していきますが，図を見て，ADとCDが交わるような位置関係にします。また，手順の⑤を
⑤ CDを線分で結び，ADとBCをそれぞれ直線で結んで交点をPとする。
に変えます。
これで軌跡は双曲線になります。
ところで，楕円の場合と双曲線の場合の違いは何でしょうか。図を見ながら位置関係を変えて描きましたが，文章での説明では全く同じです。図での違いは，ABの長さとBCの長さの違いです。今描いた双曲線の図で，Bを中心とする円の円周上をドラッグして大きくしてみましょう。すると，双曲線は楕円に変わります。
では，$${\tau}$$上の軌跡はどうなるでしょうか。双曲線の状態に戻し，双曲線ツールを選んで，焦点をC，D，通る点をPとして双曲線を描きます。先ほどと同じように，色と線の太さを変えました。
このまま，Bを中心とする円を大きくしていきますと
双曲線は楕円に変わります。
なお，点Cをドラッグしたとき，楕円の方はいかにも「転がり合う」感じがしますが，双曲線の方はそうでもありませんね。
作図器としては，棒の長さを可変にはしないので，楕円と双曲線は写真のようにことなるものとして作ります。したがって，Cinderellaで作図器を模したものも，楕円のものだけ作りました。棒の可動域には制限があるので，図の太い部分だけです。（見出し画像）