Cinderellaで数学：いろいろな曲線：パスカルのリマソン
「曲線の事典」（礒田正美他編著：共立出版 2009）に掲載されているパスカルのリマソンと，関連した図を描きます。
パスカルのリマソン（蝸牛線）
固定点（極）Oを通る中心C，半径rの円$${\gamma}$$が与えられている。円$${\gamma}$$の円周上を点Aが動くとき，点OとAを通る軸（直線）s上の点Aに関して対称な点P，Qはパスカルのリマソンをかく、このとき、極OはAPとrの大きさに応じて，3種に分類できる。
・AP＜2rのとき，点Oは曲線の結節点になる。
・AP＝2rのとき，点Oは曲線の尖点になる。かかれる曲線はカージオイド（心臓形）と呼ばれる。
・AP＞2rのとき，点Oは曲線の孤立点になる。
作図器の写真があり，３つの場合の図が描かれています。
Web上にも写真があります。
図を描くのは簡単なのでやってみましょう。
背景の座標軸と方眼は表示する必要はありません。
「円を加える」ツールで，適当なところに円を描きます。中心がAで，Bを通る円が描かれます。
円周上に点を取り(C)，点Bと結んだ直線を描きます。
Cを中心に，こんどは「半径付き円を加える」ツールで円を描き，直線BCとの交点を取ります。これで必要な図は描きました。
軌跡ツールを選び，動かす点としてC，軌跡を描く点としてDまたはEを選べばリマソンが描かれます。Cを中心とした円の大きさを変えると，3通りのリマソンが描かれます。
作図器を模した図を作る
作図器を模した図を作ります。Web上の作図器の写真はカラーなのでこちらを見ましょう。
これと，Cinderellaの図を見比べます。Cinderellaの図では点の名称を説明文に合わせて変えました。
作図器では横に固定した棒があります。中央の点が円の中心Aに該当するようです。斜めの棒が直線OAで，Pに相当する点が3つあって，そこにペンをつければ3種類の図が描かれるようになっているようです。点Aを動かす円が描かれていませんが，横棒の中心とOAを結ぶ棒がCAに相当するようです。Aに相当する点が金具で光って見えます。十字型の棒は補強用でしょうか。
では，これを模して図を描きましょう。磁石ツールで背景の座標軸と方眼を表示し，点Cを原点に移動します。それに合わせて点Oも動かします。
Aを中心とした円を点Pの外側に２つ描きます。それぞれ交点を取って，軌跡ツールでリマソンを描きます。円の大きさを調整して3種類のリマソンができるようにします。
x軸上に横棒を描きます。（GH）
点Aは作図器の写真の位置に動かして，もう一つ外側に円を描き，Aの反対側の交点Kをとります。ここまでが棒の長さになります。
これで必要な点はとりました。動かす長い棒の十字型の棒はいまは省略していますが，あとから追加してもよいでしょう。
次に，「棒」です。インスペクタで線分の太さと色を変えればよいのですが，それだと，次の図のように両端の点のところまでしか棒ができません。
両端の点は棒をとめている釘だと思うと，もう少し先まで描きたいですね。そこでCindyScriptの登場です。
棒を描く関数を次のように作ります。関数定義なので Initialization スロットに書きます。
bar(p1, p2, len , th, col):=(
nv = complex((p2 - p1)/|p2 - p1|)*len;
z1 = complex(p1);
z2 = complex(p2);
z3 = z1 + nv*(cos(pi - th) + i*sin(pi - th));
z4 = z1 + nv*(cos(th - pi) + i*sin(th - pi));
z5 = z2 + nv*(cos(-th) + i*sin(-th));
z6 = z2 + nv*(cos(th) + i*sin(th));
p3 = gauss(z3);
p4 = gauss(z4);
p5 = gauss(z5);
p6 = gauss(z6);
fillpoly([p3,p4,p5,p6], color -> col);
);棒GHを描くには，Draw スロットに bar(G, H, 0.5, pi/6, [0.8,0.6,0]); と書きます。線分GHはインスペクタで非表示にし，点は黒にして小さくしています。
関数の内容について次の図で説明します。
nv は $${\overrightarrow{\rm{AB}}}$$ 方向の長さ len のベクトルです。複素数で表しています。nv を th だけ傾けると，斜めのベクトルができますので，A，Bのそれぞれの点から四方に延ばします。それが p3，p4，p5，p6 です。この4点を頂点とする矩形を col 色 で塗ります。引数を変えれば大きさ，色合いの調節ができます。
仕上げです。3本の棒を描きます。重なり具合があるので順序を考えましょう。
bar(F, K, 0.5, pi/6,[0.7,0.5,0]);
bar(A, C, 0.4, pi/6,[0.6,0.4,0]);
bar(G, H, 0.5, pi/6,[0.7,0.5,0]);補助的に描いた点や円は非表示にし，リマソンの形を決めるのに使った円は薄い水色にして残しておきます。軌跡のリマソンは線の幅を少し太くしましょう。
台座は4点を作図して，多角形ツールで描くか，スクリプトで fillpoly([L, M, N, R], color->[0.7,0.4,0], alpha -> 0.3); のように書きます。この方が，色合いを調節しやすいでしょう。
パスカルのリマソンの様々な表現法
A．円錐曲線の反転図形として現れるリマソン
焦点を極とする円錐曲線の極方程式は次式で表される。
$${\rho=\dfrac{\ell}{1+e \cos \theta}}$$
ここで，$${e}$$ は離心率，$${\ell}$$ は焦点から準線までの距離に離心率$${e}$$をかけた値である。この極方程式は、$${0＜e＜1}$$ のとき楕円，$${e=1}$$ のとき放物線，$${e＞1}$$ のとき双曲線を示す。（中略）
円錐曲線の反転図形はパスカルのリマソンであり、逆にパスカルのリマソンの反転図形は円錐曲線であり，$${e}$$の大きさに応じて3種の円錐曲線のいずれかに対応する。
「反転図形」は，円に関する鏡映で，Cinderellaには作図ツールがあります。２次曲線も作図ツールで描けるのでやってみましょう。
点を３つとり，「焦点と通る点で決まる楕円」ツールを選びます。また，原点中心の円を描いておきます。楕円と円が重なり，楕円の下側が円の中心より下にくるように調節します。
楕円上に点を取り，鏡映ツールを選んで，鏡になるものとして円を，鏡に映すものとして今の点を選びます。
軌跡ツールを選んで，動かす点としてその点を，軌跡を描く点として鏡映でできた点を選びますと，リマソンが描かれます。
放物線と双曲線も同様にしてできます。
CindyScriptを使って描くこともできます。
まず楕円から。鏡に使う円を原点中心に適当に描き，楕円の位置を決める点をひとつとります。
CindyScriptで Draw スロットに次のコードを書きます。
f(t):=[2*cos(t), 3*sin(t) + B.y];
r = C0.radius;
p = f(0);
z = r^2/conjugate(complex(f(0)));
repeat(360, t,
p1 = f(t°);
z1 = r^2/conjugate(complex(f(t°)));
draw([p,p1]);
draw([gauss(z), gauss(z1)], color -> [1,0,0]);
p = p1;
z = z1;
);極方程式ではなく媒介変数表示にしています。complex() は直交座標から複素数への変換，conjugate() は共役複素数，gauss() は複素数から直交座標への変換です。360個の点をとってつなぐことで曲線を表しています。実行結果です。
円の半径，Bの位置をドラッグして変えるとリマソンの大きさは変わりますが，形状の種類はおなじです。
２次曲線 f(x) の定義式を変えれば，放物線，双曲線の場合も描けます。
先に双曲線を描きましょう。双曲線では，f(t) の定義式を「f(t):=[tan(t),1/cos(t) + B.y]」に変えるだけです。点Bは原点より下に持ってきます。
次は放物線です。三角関数は使わないので他のところも変わります。
f(t):=[t, t^2/4 + B.y];
r = C0.radius;
p = f(-10);
z = r^2/conjugate(complex(f(-10)));
repeat(200, t, start -> -100,
p1 = f(-t/10);
z1 = r^2/conjugate(complex(f(t/10)));
draw([p,p1]);
draw([gauss(z), gauss(z1)], color -> [1,0,0]);
p = p1;
z = z1;
);
B．包絡線
包絡線としてカージオイドを示すことができる。中心A、半径OAの円が与えられており、この円周上を点Bが動く．このとき、中心B、半径OBの円による包絡線はカージオイドになる。
作図は簡単です。「円を加える」ツールで円を描き，円周上に点を取ります（C）。その点を中心とし，円を描くときに使った円周上の点Bまでを半径とする円を「半径付き円を描く」ツールで描きます。インスペクタを開き，「特別な表示方法」で「足跡を描く」にチェックを入れます。点Cをドラッグすると包絡線が描かれます。
C．円のコンコイド
円のコンコイドとしてパスカルのリマソンをかく。
D．外トロコイド
固定された円周の外側を、動円が定円上を回転するとき、動円上の1点の軌跡は，様々な曲線を表す。特に，固定円の半径$${r_c}$$ と動円の半径 $${r_m}$$ が同じとき、すなわち、$${r_c=r_m}$$のとき、曲線の軌跡はカージオイドになる。
「エピトロコイド」となっていますが，エピサイクロイドの方が通りがよいでしょう。
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