Cinderellaで数学：いろいろな曲線：カッパ曲線
「曲線の事典」（礒田正美他・共立出版2009）に掲載されている，スアルディの作図器によるカッパ曲線を描きます。
1662年頃，フートスホーフェン（G. van Gutschoven, 1615～1668）によりカッパ曲線が研究されたので，フートスホーフェン曲線と呼ばれることもある。のちに，カッパ曲線は，ニュートン，および，ヨハン・ベルヌーイとスリューズ(René François Walter de Sluze, 1622～1685）により探究された。
平面上の直線s上に固定点Oが与えられている。線分QPの長さが一定で，∠OPQ=90° のL型定木QPOが図のように直線 s 上の固定点Oを通り，点Qは直線 s上を動く。
このとき，点Pはカッパ曲線をかく。この曲線は直線 s から線分PQだけ離れた2本の直線 s に平行な漸近線をもつ。
Cinderellaでこの図を描きます。
まずx軸を直線ツールで引き（AB），原点を取っておきます（C）。
x軸の適当なところを中心に円を描きます。円の中心と原点との中点を取ります。
中点（E）を中心に原点を通る円を描き，始めの円との交点をとります。（F）
C，Fを通る直線を引き，D，Fを線分で結びます。
軌跡ツールを選択し，動かす点としてDを，軌跡を描く点としてFを選べばカッパ曲線が描かれます。
動点Dを動かすと，点Fは第１象限しか動かないように思えますが，実際には原点付近を通るときに上下が入れ替わります。原点より左に持ってきても同様です。これは動的幾何ソフトとしてのCinderellaの特質です。このようなことは，スアルディの作図器では起こりません。写真の状態だと第１象限しか描けないでしょう。
動作を確かめたら，点の名前をO,P,Qと変えておきましょう。
この図をHTMLに書き出して表示しようとしても，CindyJSでは軌跡は表示されません。したがって，カッパ曲線の方程式を求めてプロットすることになります。曲線の事典には極方程式が載っています。OP=$${\sigma}$$，∠POQ=$${\theta}$$，QP=$${a}$$ とおくと
$${\sigma \sin \theta=a \cos \theta}$$
となります。
次のように考えて媒介変数表示もできます。
$${x=r \sin \theta \tan \theta,y=r \sin \theta}$$
次のようにスクリプトを書きます。C0 はQを中心とする円の識別子です。
f(t):=[r*sin(t)tan(t),rsin(t)];
r = C0.radius;
plot(f(#), start -> -pi/2, stop->pi/2, color -> [1,0,0]);
plot(f(#), start -> pi/2, stop->3*pi/2, color -> [1,0,0]);タイトル画面はスアルディの作図器を模したものです。
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