PythonでL-Systemsを作る(4)コマンドを追加する
リンデンマイヤーの L-Systems で使っているコマンドは，LOGOのタートルグラフィクスとはすこし違う。前進には A,B,F の3種類があり，何もしないというコマンドもあるのだ。
if command == "A" or command == "B" or command == "F":
state = forward(state)
なぜそのようなコマンドがあるかを簡単に説明しておく。（「簡単」というのは原理が簡単なのではなく，細かいことはさておいて，という意味）
リンデンマイヤーの The Algorithmic Beauty of Plants は，Algorithmic Botany のページから PDF を閲覧することができる。
直接PDFにいくならこちら。
Edge-rewriting L-systems
この中で，リンデンマイヤーは，コッホ曲線の拡張として，Edge-rewriting L-systems というのを導入している。ドラゴン曲線がその例。
「フラクタルＣＧコレクション」（渕上季代絵：サイエンス社）では，これを「ジェネレータを2つ準備しますが，第2のジェネレータは第1のジェネレータを逆さにしたものとします。」と説明している。
リンデンマイヤーは「"左 "と "右 "の2種類のエッジを仮定すると、多くの面白い曲線が得られる。」と書いている。この「「"左 "と "右 "」はあとでまた説明するが，とりあえず，このドラゴン曲線で，２つのジェネレータでどのように置き換えが行われていくかを見ておこう。イニシエータとジェネレータは次のようになっている。
initiator = "A"
generator = {"A":"A+B+","B":"-A-B"}
Aを青，Bを赤で示す。はじめはイニシエータの青の線が1本である。
この作り方は，「フラクタルＣＧコレクション」のものとは少し異なるが，結果としては同じものができる。
次に，"右"と"左" について。空間充填曲線との関係で例示されている。
線に，進行方向（左から右へ）から見て，右または左にマークがついている。このマークのあるほうの正方形を，線と一緒に書いていく。
左側の Fl→FlFl+Fr+Fr-Fl-Fl+Fr+FrFl-Fr-FlFlFr+ Fl-Fr-FlFl-Fr+FlFr+Fr+Fl-Fl-FrFr+ で，正方形が５×５に分割され，埋め尽くされている（充填） 右側も同様。
この２つのジェネレータを用いるとペアノ曲線（ゴスペル曲線）が描かれる。FlをA, Fr をBとしてやってみよう。イニシエータは -B とする。1回置き換えを行うと上の図の右側になる。
これを無限回繰り返していけば平面が線で覆われるというわけだ。（平面充填）
回転角を60°にした曲線もある。
initiator = "A"
generator = {"A":"A+B++B-A--AA-B+", "B":"-A+BB++B+A--A-B"}
Node rewriting
L-Systems にはもう一つ，Node rewriting というものがある。たとえば，ヒルベルト曲線の例。
Ln は進行方向の左側に正方形があり，Rnは右側に正方形がある方向ベクトルと考えよう。ここは少しややこしい。亀になったつもりで考える。
まず，Ln+1 の進みかた。右下から上向きに入ってきた。
ここで左を向く（＋）。このとき，Rn を左に倒すので +Rn と表す。１歩進む F
次に右を向く。このとき，Lnを右に倒すので -Ln と表す。（ここが大切。亀目線で考える）１歩進む F。次は Lnは倒さなくてよいので単に Lnで，右を向く -。
１歩進む F。Rnは倒さなくてよいので単にRn。最後に左を向く +。
以上を続けると
Ln+1 = +RnF−LnFLn−FRn+
となる。同様に，右側は
Rn+1 = −LnF+RnFRn+FLn−
イニシエータを L とし，上の関係をジェネレータとすると，次のように図ができる。（図は repeat =5 ）
このとき，Ｌ,R では何もしない。
angle = 90 / 180 * np.pi
initiator = "L"
generator = {"L":"+RF-LFL-FR+", "R":"-LF+RFR+FL-"}
Edge-rewriting と Node rewriting の関係
Edge-rewriting と Node rewriting は別なものではなく，表現方法の違いといえる。たとえば，ドラゴン曲線は，
Edge-rewriting では
initiator = "A"
generator = {"A":"A+B+", "B":"-A-B"}
と表したが，リンデンマイヤーの本では，もともと
initiator = "Fl"
generator = {"Fl":"Fl+Fr+", "Fr":"-Fl-Fr"}
と表されている。小文字のエルとアールだ。
これを書き換えると，Node rewriting では
initiator = "FL"
generator = {"L":"L+RF+", "R":"-FL-R"}
となる。詳しくはリンデンマイヤーの本を参照されたい。
（といって，これを自分で考えろというのは難しい）
２つのシェルピンスキーギャスケット
フラクタルで有名なものにシェルピンスキーギャスケットがある。リンデンマイヤーの本に載っているのは，Edge-rewriting で描いた次の図。
angle = 60 / 180 * np.pi
initiator = "B"
generator = {"A":"B+A+B", "B":"A-B-A"}
repeat = 6
山口大学のテキストには次の例が載っている。(ずいぶん前のことで，もうWeb上には残っていないようだ）
state = [[4, 6], -np.pi/3] # 亀の初期状態 出発点とはじめの向き
angle = 120 / 180 * np.pi
initiator = "R-F-F"
generator = {"F":"FF", "R":"F-R+R+R-F"}
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以上で，よくあるフラクタル図形についてはひととおりやってみた。
次回は，いよいよ植物の成長システムを作る。
→(5) 植物の成長システム