真をいう命題の中の恒偽式

真理といえば"真理という謎"ということをダメットが意味不明な文章で書いた本『Truth and other enigmas』が有名です。意味不明というか読みにくくて，まるで私が書いた文章のように回りくどい表現になっているのです。※個人の見解です。

真理はすべての命題に割り当てられるとは限らない

真理は命題に対して与えられますが，述語論理で嘘つき文を扱おうとしても対処できません。嘘つき文の真理値と嘘つき文を量化したときの真理値は異なるためです。

では恒真命題はどうでしょうか。そもそも恒真命題はその命題が真になる根拠を持っています。そのため量化しても恒真です。その根拠には恒偽式$${\bot}$$が含まれていることもあります。以下の爆発則(矛盾律)を許す体系では恒真式に必ず恒偽式を持たせることができます。

$${\cfrac{\bot}{A}}$$

量化子に左右されない命題は良いのですが，量化範囲も考慮すべきです。量化子に左右されないとは量化子のスコープ外に命題があるということです。しかし，命題は変数を持つ必要があります。

束縛変数を持ち不釣り合いな命題こそ真

私は自由変数では嘘つき文を対処できないのではないかと思いました。不釣り合いとはハーモニーのない証明で，主に排中律と爆発則です。

また，嘘つき文ですが矛盾を導く理由は色々考えられます。典型的なのは自己言及性です。私もこの考えに賛成していて，そもそも矛盾命題には自己言及の権利がないと思います。

その他には，自己言及を含む命題を排除する方法があります。病的な命題または文法違反と割り切ってしまう対策です。

つまり嘘つき文は，何一つ真理値を得られないのです。"解なし"というように。

偽な命題には偽な命題を

多くの命題は前提を追加して真にすることができます。恒偽式$${\bot}$$は間違った命題とも言われますが，この命題は真にできます。前提に矛盾命題を追加することで$${\bot{\vdash}\bot}$$という証明ができます。

結論が偽な命題は偽になる余地もあります。真な命題$${\top}$$を前提に追加するだけです。$${\top{\vdash}\bot}$$となりますがこれは成り立ちません。

爆発則のもとになる$${\bot}$$は危険物のように私は感じます。

はしがき

抽象的に考え過ぎたせいで意味不明な文章になってしまいました。ダメットのほうがマシなくらいですがいつものことです。上手く表現できないのですが，なんとなくが伝われば幸いです。伝わらないと思いますが。