確率変数の不等式:Chebyshevの不等式

チェビチェフの不等式

期待値を$${\mu}$$、分散を$${\sigma^2}$$の確率変数を$${x}$$とする。
Markov不等式$${\displaystyle{Pr(|x|\geq a) \leq \frac{E[|x|]}{a}, a>0}}$$において、$${x=(x-\mu)^2, a=(\sigma \epsilon)^2}$$を適用すれば、
$${\displaystyle{Pr(|x-\mu|\geq \sigma\epsilon) \leq \frac{E[(x-\mu)^2]}{(\sigma \epsilon)^2}=\frac{1}{\epsilon^2}\frac{E[(x-\mu)^2]}{\sigma^2}=\frac{1}{\epsilon^2}}}$$
よって、
$${\displaystyle{Pr(|x-\mu|\geq \sigma\epsilon) \leq\frac{1}{\epsilon^2}}}$$
これをチェビチェフの不等式と呼ぶ。

また、Markov不等式において、$${b>a>0}$$として、
$${x=\displaystyle{\Big(x-\frac{a+b}{2}\Big)^2,a=\Big(\frac{b-a}{2}\Big)^2}}$$とする。

$${\displaystyle{\Big(x- \frac{a+b}{2}\Big)^2 \geq \Big(\frac{b-a}{2}\Big)^2}}$$は、

$${\displaystyle{x- \frac{a+b}{2} \leq -\frac{b-a}{2},x- \frac{a+b}{2} \geq \frac{b-a}{2}}}$$より、$${(x \leq a) \cap (x \geq b)}$$と同値であるから、

$${\displaystyle{Pr((x \leq a) \cap (x \geq b))=Pr(\Big|x- \frac{a+b}{2}\Big| \geq |\frac{b-a}{2}\Big|) = \frac{E[(x-\frac{a+b}{2})^2]}{(\frac{b-a}{2})^2}}}$$

ここで、$${\displaystyle{E[(x-\frac{a+b}{2})^2]=E[x^2] -(a+b)E[x]+\frac{(a+b)^2}{4}}}$$
$${\displaystyle{=E[x^2]-E[x]^2+\Big(E[x]-\frac{a+b}{2}\Big)^2=V[x]+\Big(E[x]-\frac{a+b}{2}\Big)^2}}$$
であるから、
$${\displaystyle{Pr((x \leq a) \cap (x \geq b))=Pr(\Big|x- \frac{a+b}{2}\Big| \geq |\frac{b-a}{2}\Big|) =\frac{V[x]+\Big(E[x]-\frac{a+b}{2}\Big)^2}{(\frac{b-a}{2})^2} }}$$

$${Pr(a \leq x \leq b)=1-Pr((x \leq a) \cap (x \geq b))}$$より、$${x}$$の両側確率は、
$${Pr(a \leq x \leq b)=\displaystyle{1-\frac{V[x]+\Big(E[x]-\frac{a+b}{2}\Big)^2}{(\frac{b-a}{2})^2}}}$$
で与えられることになる。