ロジスティック方程式を(あえて)ラプラス変換で解く

ロジスティック方程式

$$
\frac{dN}{dt}=rN\left( 1-\frac{N}{K} \right)
$$

の解析解を出します。
変数分離を使って解いてるやつが多いので逆張りしてラプラス変換使います。

まずロジスティック方程式はベルヌーイ型の常微分方程式なので、
$${ z(t)=\frac{1}{N(t)} }$$と置換して、形を整えます。

$$
\begin{align*}
    \frac{dz}{dt} &= (-1)N^{-2}\frac{dN}{dt} \\
    \frac{dN}{dt} &= -N^{2}\frac{dz}{dt} 
\end{align*}
$$

$$
\therefore   \frac{dN}{dt}=rN\left( 1-\frac{N}{K} \right) \to \frac{dz}{dt} + rz - \frac{r}{K}=0
$$

これで線形常微分方程式になりました。
次にラプラス変換をやっていきます。
以下、ラプラス変換演算子を$${\mathcal{L}}$$、$${\mathcal{L}[z]=Z(s)}$$, $${z(0)=z_{0} \left( =\frac{1}{N_{0}} \right) }$$とします。

$$
\begin{align*}
    \mathcal{L}\left[ \frac{dz}{dt} + rz - \frac{r}{K} \right] &= sZ(s) - z_{0} +rZ(s) - \frac{r}{K}\frac{1}{s}=0 \\
    (s+r)Z(s) &= z_{0} + \frac{r}{K}\frac{1}{s} \\
    Z(s) &= \frac{z_{0} }{(s+r)} + \frac{r}{K}\frac{1}{s(s+r)} \\
    &= \frac{z_{0} }{(s+r)} + \frac{1}{K}(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+r})
\end{align*}
$$

上式の途中で部分分数分解、$${\frac{r}{K}\frac{1}{s(s+r)} = \frac{1}{K}(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+r})}$$を使いました。

最後に逆変換$${\mathcal{L}^{-1}[Z(s)] }$$と$${z}$$を$${N}$$に直して終わりです。

$$
\begin{align*}
\mathcal{L}^{-1}[Z(s)]&=\frac{z_{0} }{(s+r)} + \frac{1}{K}(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+r}) \\
z(t) &= z_{0}e^{-rt} + \frac{1}{K}(1-e^{-rt}) \\
\frac{1}{N} &= \frac{1}{N_{0}}e^{-rt} + \frac{1}{K}(1-e^{-rt}) \\
&= \frac{Ke^{-rt} + N_{0}(1-e^{-rt})}{N_{0}K}
\end{align*}
$$

$$
\therefore  N(t)=\frac{N_{0}Ke^{rt}}{K+N_{0}(e^{rt}-1)}
$$