1次元非対称ランダムウォークから移流拡散方程式
1次元非対称ランダムウォークから，1次元移流拡散方程式を導出します．
(マレー数理生物学入門 第11章 演習問題1の自分なりの解答です．)
１．準備
時間 $${ t }$$ に粒子が位置$${ x }$$にいる確率を$${ p(x, t) }$$とします．
粒子が右($${+x}$$方向)に動く確率を$${ \alpha }$$，左($${-x}$$方向)に動く確率を$${ \beta }$$とします．
ここでは，$${ \alpha - \beta=\varepsilon,\: 0<\varepsilon\ll1 }$$とし，規格化条件 $${ \alpha+\beta=1 }$$ を満たします．
粒子は一定時間$${\Delta t}$$の間に一定距離$${\Delta x}$$だけ動くとします．
２．本題
$${ p(x, t) }$$は以下の式で表すことができます．
$$
p(x, t) = \alpha p(x-\Delta x, t-\Delta t) + \beta p(x+\Delta x, t-\Delta t)
$$
この式の左辺を構成する$${ p(x-\Delta x, t-\Delta t) }$$，$${ p(x+\Delta x, t-\Delta t)}$$をテイラー展開してあげます．
$$
\begin{align*}
p(x-\Delta x, t-\Delta t) &= p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial x}(-\Delta x) + \frac{\partial p}{\partial t}(-\Delta t) \\
& \quad + \frac{1}{2} \left\{ (-\Delta x)\frac{\partial }{\partial x} + (-\Delta t)\frac{\partial }{\partial t} \right\}^{2}p + \dots \\
p(x+\Delta x, t-\Delta t) &= p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial x}(\Delta x) + \frac{\partial p}{\partial t}(-\Delta t) \\
& \quad + \frac{1}{2} \left\{ (\Delta x)\frac{\partial }{\partial x} + (-\Delta t)\frac{\partial }{\partial t} \right\}^{2}p + \dots
\end{align*}
$$
そして，$${ \alpha p(x-\Delta x, t-\Delta t) + \beta p(x+\Delta x, t-\Delta t) }$$を展開と規格化条件を使って整理すると以下のようになります.
$$
\begin{align*}
\alpha p(x-\Delta x, t-\Delta t) + \beta p(x+\Delta x, t-\Delta t) &\approx
p (x, t) - (\alpha-\beta) \frac{\partial p}{\partial x}\Delta x - \frac{\partial p}{\partial t}\Delta t \\
& \quad+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2p }{\partial x^2}(\Delta x)^2 + (\alpha - \beta)\frac{\partial^2p }{\partial x \partial t}\Delta x\Delta t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2p }{\partial t^2}(\Delta t)^2 ．
\end{align*}
$$
なので，$${ p(x, t) = \alpha p(x-\Delta x, t-\Delta t) + \beta p(x+\Delta x, t-\Delta t) }$$は，以下のように整理できます．
$$
\begin{align*}
\frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{(\alpha-\beta)\Delta x}{\Delta t} \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{(\Delta x)^2 }{2\Delta t}\frac{\partial^2p }{\partial x^2}+ (\alpha - \beta)\Delta x\frac{\partial^2p }{\partial x \partial t} + \frac{\Delta t}{2}\frac{\partial^2p }{\partial t^2} ．
\end{align*}
$$
ここで，両辺を$${ \Delta x \to 0, \Delta t \to 0 }$$の極限を取ります．その際に
$$
\begin{align*}
\lim_{\substack{\Delta x \to 0\\ \Delta t \to 0}} \frac{(\alpha-\beta)\Delta x}{\Delta t} &= V \\
\lim_{\substack{\Delta x \to 0\\ \Delta t \to 0}} \frac{(\Delta x)^2 }{2\Delta t} &= D
\end{align*}
$$
と置いてあげると，以下のようになります．
$$
\begin{align*}
\frac{\partial p}{\partial t} +V \frac{\partial p}{\partial x} = D\frac{\partial^2p }{\partial x^2} ．
\end{align*}
$$
粒子の総数を$${ Q }$$とすると，粒子濃度$${ c }$$は$${ c(x, t)=Qp(x,t) }$$です．
つまり，上の式の両辺に$${Q}$$をかけてあげると，
$$
\begin{align*}
\frac{\partial c}{\partial t} +V \frac{\partial c}{\partial x} = D\frac{\partial^2c }{\partial x^2}
\end{align*}
$$
となり，1次元移流拡散方程式の形になります．
余談
$${ \alpha = \beta = \frac{1}{2} }$$(1次元対称ランダムウォーク)の場合は，$${V}$$が$${0}$$になって1次元拡散方程式
$$
\begin{align*}
\frac{\partial c}{\partial t} = D\frac{\partial^2c }{\partial x^2}
\end{align*}
$$
になります．