「59分割すごいね」が「60はいろんな数の倍数だね」と聞こえてくる理由

グリッドという、デザイン時に領域を区切るテクニックの話題です。59分割にすると便利だということが書かれています。

この59について算数的に考えます。

結論を先に言うと
59に1を足した60が、3と4と5の公倍数
です。

あらためてこの話題を説明

マスが小さな方眼紙をイメージする。その方眼紙の中で横方向にいくつか連続したマスを選択し、それを中途半端なマスが出ないように均等に分割する。このとき隙間を1マスとる。両端には隙間を入れない。例えば横に8マスとると、その中に2マスのものが3つと、隙間が2つ入る。

今度は横に11マスとる。11マスには3マスのものが3つと隙間が2つ入るし、2マスのものが4つと隙間を3つ入れる事もできる。配置の仕方がこのように複数可能なものを探していくと59マスでは
2マスのものが20個と隙間が19個
3マスのものが15個と隙間が14個
4マスのものが12個と隙間が11個
5マスのものが10個と隙間が9つ
9マスのものが6つと隙間が5つ
11マスのものが5つと隙間が4つ
14マスのものが4つと隙間が3つ
19マスのものが3つと隙間が2つ
と多くのパターンをこなせる。

59すごいね、という話である。

次に59という数字の意味を調べていく。

3分割と4分割と5分割できるもの

59は実は基本の要素として3分割と4分割と5分割を持つ。そこで、59から話をスタートするのではなく、3分割も4分割も5分割も行えるものを考えて、その結果59にたどり着く、というやり方で説明する。その後、それがたくさんの分割パターンを持っているというところも説明する。

まずは、分割できるための横幅の条件を考える。3分割は隙間が2つあるので
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 8
3 + 1 + 3 + 1 + 3 = 11
4 + 1 + 4 + 1 + 4 = 14
などが考えられる。つまり5マス、8マス、11マス、14マス...なら3分割が可能ということ。各エリアの横幅をaとして式で書くと
3a + 2
である。

3分割できるもの
5,8,11,14,17,20...
各エリアの横幅をaとして式で書くと
3a + 2

4分割できるもの
7,11,15,19,23,27...
各エリアの横幅をbとして式で書くと
4b + 3

5分割できるもの
9,14,19,24,29,34...
各エリアの横幅をcとして式で書くと
5c + 4

である。上に書いた範囲で見ると、11は3分割と4分割ができるが5分割はできないし、19は4分割と5分割ができるが3分割ができない。上に書いた範囲には3つの分割パターンを可能にするものはなさそうである。

別のアプローチ

これらの各エリアの値(aやbやc)を適当な値にして式の値(3a+2など)がそろえば、それは3分割も4分割も5分割も行える。しかしここでは各エリアの値をいろいろ試すのではなく、別のアプローチをする。

それぞれの条件に1を足す

それぞれの条件に1を足すと以下のようになる。

3分割できるものはこうなる
3a + 2 + 1
= 3a + 3
= (a + 1) x 3

4分割は
4b + 3 + 1
= 4b + 4
= (b + 1) x 4

5分割は
5c + 4 + 1
= 5c + 5
= (c + 1) x 5

今、3つの分割パターンで共通の横幅を求めようとしているが、その値が求まるとき、それぞれに1を足した数も同じになるはずなので、それで考えても構わない。そうすると、
(a + 1) x 3
(b + 1) x 4
(c + 1) x 5
が同じ数になるときは、その数字は3,4,5の倍数であり、それは60（など）である。
ここから途中で足した1を引くと59。（余裕があればa、b、cが自然数に収まることを確認）
以上が、59が3分割、4分割、5分割可能の理由。

その他の分割パターン

ここから、59のその他の可能な分割パターンを調べる。

○が△分割できるなら、○+1は△の倍数。その△が□の倍数なら○+1は□の倍数でもある。よって○は□分割できる。
これにより、4分割ができれば2分割できる。

また、△と□が互いに素のとき、○が△分割できて□分割もできるなら、○+1は△の倍数であり□の倍数でもあるので、○+1は(△x□)の倍数。よって○は(△x□)分割できる。
これにより
2分割と3分割ができれば6分割できるし
2分割と5分割ができれば10分割できるし
3分割と4分割ができれば12分割できるし
3分割と5分割ができれば15分割できるし
4分割と5分割ができれば20分割できるし
5分割と6分割ができれば30分割できる。

このように2と2と3と5の組み合わせによりたくさん出てくる。（60分割はひとつのエリアの横が0マスになるのでだめだけどｗ）

さいごに

「59分割すごいね」が「60はいろんな数の倍数だね」と聞こえてくるはず。