総和論２　冪乗和と重和の漸化的表現

前回、$${\sum\limits_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}}$$ $${=\sum\limits_{k=1}^n k(n-k+1)}$$から、
２乗和と２重和の代数的解法を得たが
それが３である時、どう求められるか？
一般項を求められるのだろうか？

まず、３重和を求める為に
前回の導出法を応用しよう。
２重和は$${\sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{k_2=1}^k k_2=\sum\limits_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}}$$
である事を応用し、
３重和を$${\sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{k_2=1}^k}$$ $${\sum\limits_{k_3=1}^{k_2} k_3}$$ $${=\sum\limits_{k=1}^n \frac{k(k+1)(k+2)}{6}}$$
と表す。

これは$${[m]\sum\limits_{k=1}^n k_m}$$ $${=([m-1]\sum\limits_{k=1}^1 k_{m-1})+}$$
$${([m-1]\sum\limits_{k=1}^2 k_{m-1})+}$$…$${([m-1]\sum\limits_{k=1}^n k_{m-1})}$$
からも自明である。

そして、２重和は$${\sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{k_2=1}^k k_2=1+(1+2)+}$$
$${(1+2+3)+…(1+2+3+…n)}$$
$${=1n+2(n-1)+3(n-2)+}$$
$${…n(n-(n-1))}$$
$${=\sum\limits_{k=1}^n k(n-k+1)}$$である事を応用し、
三重和を$${\sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{k_2=1}^k}$$ $${\sum\limits_{k_3=1}^{k_2} {k_3}}$$=$${(\sum\limits_{k=1}^1 k)+}$$ 
$${((\sum\limits_{k=1}^1 k)+}$$ $${(\sum\limits_{k=1}^2 k))+}$$…
$${((\sum\limits_{k=1}^1 k)}$$ $${+(\sum\limits_{k=1}^2 k)+}$$…$${(\sum\limits_{k=1}^n k))}$$=
$${\sum\limits_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}(n-k+1)}$$と表す。

この２つの式のｋの最高次数は３であり、
２乗和までは代数的解法を知っているので
代数的に表す事ができる。

すると、２乗和を求めた時と同様、
３乗和と代数式からなる式になり、
整理していくと３乗和が求められ、
３乗和の代数的解法を使って、
３重和が求められる。

その計算は煩雑なので
ここでは計算せず、結果だけ見せる。
$${\sum\limits_{k=1}^n k^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2}$$
$${\sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{k_2=1}^k}$$ $${\sum\limits_{k=1}^{k_2} k_3=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}$$

ここでこんな予想が立つ。
$${[m]\sum\limits_{k=1}^n k_m}$$ $${=\frac{(\prod_{k=0}^m n+k)}{(m+1)!}}$$
これは真だ。だが、この記事では証明しない。
また、冪乗和の方は簡単に表せる公式がない。

３乗和は２乗和と２重和の代数的解法から
求められたが同様に
ｍ乗和はｍ-１乗和とｍ-１重和までの
代数的解法から求められる。

変数ｋからなるｍ乗和の代数的解法を
$${x_m}$$としたならば、
$${[m]\sum\limits_{k=1}^n k_m}$$ $${=\sum\limits_{k=1}^n x_{m-1}}$$であるし、
$${[m]\sum\limits_{k=1}^n k_m}$$=$${([m-1]\sum\limits_{k=1}^1 k)+}$$ 
$${(([m-1]\sum\limits_{k=1}^1 k)+}$$ $${([m-1]\sum\limits_{k=1}^2 k))+}$$…
$${(([m-1]\sum\limits_{k=1}^1 k)}$$ $${+([m-1]\sum\limits_{k=1}^2 k)+}$$…$${([m-1]\sum\limits_{k=1}^n k))}$$=
$${\sum\limits_{k=1}^n {x_{m-2}(n-k+1)}}$$である。

また、m重和を漸化に示す方法は他にもある。
$${\sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{k_2=1}^k}$$ $${\sum\limits_{k_3=1}^{k_2} {k_3}}$$   $${=1+(1+(1+2))+}$$ 
$${(1+(1+2)+(1+2+3)))+…}$$
$${(1+(1+2)+…(1+2+...n)=)}$$ 
$${1\frac{n(n+1)}{2}+2\frac{n(n-1)}{2}+3\frac{(n-1)(n-2)}{2}}$$ $${+…n\frac{(n-(n-2))(n-(n-3))}{2}=}$$   $${\sum\limits_{k=1}^{n} k{\frac{(n-k+1)(n-k+2)}{2}}}$$。
これから$${\sum\limits_{k=1}^n k([a]\sum\limits_{p=1}^k p_a)=}$$ $${[a+1]\sum\limits_{k=1}^{n-k+1} k_a}$$
が予想され、これは真だ。
更にこの記事で紹介したもう2つの
公式を合わせて使うと下記になる。
$${[a]\sum\limits_{k=1}^n k_a}$$ $${([b]\sum\limits_{p=1}^{k_a} p_b)}$$ $${([c]\sum\limits_{p=1}^{n-{k_a}+1} p_c)=}$$

 $${[a+b+c]\sum\limits_{k=1}^n k_{a+b+c}}$$

次に、$${\sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{k_2=1}^k k_2}$$ $${=\sum\limits_{k=1}^n k(n-k+1)}$$から
０重和の代数的解法はｎであるのかと
疑問に思うかもしれないが、
そう拡張するのが適当である。

$${[m]\sum\limits_{k=1}^n k=}$$ $${[m+1]\sum\limits_{k=1}^n 1}$$から
$${\sum\limits_{k=1}^n 1}$$ $${=[0]\sum\limits_{k=1}^n k_0}$$
$${[0]\sum\limits_{k=1}^n k_0=n}$$
$${[0]\sum\limits_{k=1}^n k_0=1+1+1+…}$$
と計算できるからだ。

更に負の数まで拡張は可能だ。
２重和の第３項の値６が
１重和の第３項までの値
１＋２＋３に等しい様に
ｍ重和の第ｎ項の値は
ｍ-１重和の第ｎ項までの値に等しい。

そして、０重和は全ての項が１である事から、
-１重和は初項が１で第２項,以降は
全て０である事がわかる。
-１重和はどの項まで足しても
常に１に等しい。

この事は$${[m]\sum\limits_{k=1}^n k=}$$ $${\sum\limits_{k=1}^n {x_{m-2}(n-k+1)}}$$
からもわかる。
$${\sum\limits_{k=1}^n k=}$$ $${\sum\limits_{k=1}^n {x_{-1}}(n-k+1)}$$で
$${x_{-1}=1}$$と代入して計算すると
$${\sum\limits_{k=1}^n k=\sum\limits_{k=1}^n n-k+1}$$
$${={n^2}+n-\frac{n(n+1)}{2}}$$
$${=\frac{2{n^2}+2n-{n^2}+n}{2}}$$ $${=\frac{n(n+1)}{2}}$$と正しい事がわかる。

次回は負の重和について語る。