総和論１　総和の基本と「冪乗和と重和」

総和とは$${\sum\limits_{k=m}^n s}$$と
表される３変数関数である。

n,m∈N(n,mは自然数)であり、n≧mである。
明示的に表すと、
$${\sum\limits_{k=m}^n k=m+(m+1)+}$$
$${(m+2)…(m+n)}$$である。

また、$${m=1}$$が一般的であり、
$${m≠1}$$でなければ表せない数式は
存在しないので総和は
２変数関数として使われる。

なので、今後、総和と
言った時は$${m=1}$$の場合を指す。

次に最も単純な総和を関数で定義する。
$${f(1)=1　n>1}$$ならば
$${f(n)=f(n-1)+n}$$
この時、$${f(n)=\sum\limits_{k=1}^n k}$$である

$${\sum\limits_{k=1}^n k}$$は代数的に表す事ができ、
総和を代数的に表す事は
総和の面白みの１つである。

代数的に表すとは、
有理数同士の有限回の加減乗除冪根で
表すという意味で、
代数的に表したその数式を
代数的解法と呼ぶ。

以下に$${\sum\limits_{k=1}^n k}$$の代数的解法の導出を示す。
$${\sum\limits_{k=1}^n k=1+2+3+…n}$$
$${2(\sum\limits_{k=1}^n k)=(1+n)+(2+(n-1))+}$$
$${(3+(n-2))…(n+(n-(n-1)))}$$
$${=(1+n)+(1+n)+(1+n)…}$$
$${=n(n+1)}$$
$${\sum\limits_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}}$$
例えば$${1+2+3…+100=}$$
$${\frac{100(101)}{2}}$$である。

この代数的解法は直方体を
構成する正方形の
数として表す事ができる。

総和のｋの部分は
他の数式に置換が可能であるが、
定数の場合、
$${\sum\limits_{k=1}^n ｍ=m+m+m…=nm}$$となり、
ｋに指数や因子が掛かっている場合、
$${\sum\limits_{k=1}^n 3{k^2}=3+3(4)+3(9)…3{n^2}}$$
などとなる。

次に２乗和と２重和を考える。
２乗和とは$${\sum\limits_{k=1}^n k^2=1+4+9+16…}$$
であり、一般化した物は冪乗和と呼ぶ。

関数で表すと、$${f(m,1)=1}$$　
$${f(m,n)=f(m,n-1)+{n^m}}$$
$${f(m,n)=\sum\limits_{k=1}^n k^m}$$

２重和とは$${\sum\limits_{k=１}^n \sum\limits_{k_２=１}^k k_２=}$$
$${1+(1+2)+(1+2+3)+}$$
$${…(1+2+3+…n)}$$である。
一般化した物は重和と呼び、
$${[m]\sum\limits_{k=1}^n k_m}$$と表記する。

関数で表すと、$${f(m,1)=1}$$　
$${f(1,n)=f(1,n-1)+n}$$
$${f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-1,n)}$$
$${f(m,n)=[m]\sum\limits_{k=1}^n k_m}$$

何故、この２つを一気に
紹介したかと言うと、
冪乗和と重和はそれぞれの代数的解法を
互いを使って求められるからだ。

ちなみに、１重和と１乗和は同じだ。

まず、２重和を考える。
$${\sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{k_2=1}^k k_2=1+(1+2)+}$$
$${(1+2+3)+…(1+2+3+…n)}$$
$${=1n+2(n-1)+3(n-2)+}$$
$${…n(n-(n-1))}$$

この式変形は下記の図で表せれる。

これを総和で表す。
$${=\sum\limits_{k=1}^n k(n-k+1)}$$
$${=\sum\limits_{k=1}^n kn-{k^2}+k}$$
$${\sum\limits_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}}$$を使って、
代数的に表せる部分を代数的に表す。
$${=\frac{{n^2}(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}-(\sum\limits_{k=1}^n k^2)}$$
$${{n^2}+n=n(n+1)}$$なので
$${=\frac{n{(n+1)^2}}{2}-(\sum\limits_{k=1}^n k^2)}$$

これにより、代数式と２乗和の２つに
分けられた事が重要だ。

そして、$${\sum\limits_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}}$$を使って、
また別の形に２重和を変形させる。
$${\sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{k_2=1}^k k_2=1+(1+2)+}$$
$${(1+2+3)+…(1+2+3+…n)}$$
$${=\sum\limits_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}}$$
$${=\sum\limits_{k=1}^n \frac{{k^2}+k}{2}}$$
$${=\frac{n(n+1)}{4}＋(\frac{\sum\limits_{k=1}^n k^2}{2})}$$

この２通りの式変形を＝で結ぶ。
$${\frac{n{(n+1)^2}}{2}-(\sum\limits_{k=1}^n k^2)=\frac{n(n+1)}{4}＋(\frac{\sum\limits_{k=1}^n k^2}{2})}$$
$${\frac{2n{(n+1)^2}-n(n+1)}{4}=\frac{3(\sum\limits_{k=1}^n k^2)}{2}}$$
$${\frac{2n(n+1)(2(n+1)-1)}{12}=\sum\limits_{k=1}^n k^2}$$
$${\sum\limits_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$
これで２乗和の代数的解法を得た。

これにより、２重和の代数的解法も得られる。
$${\frac{n(n+1)}{4}＋(\frac{\sum\limits_{k=1}^n k^2}{2})=\frac{n(n+1)}{4}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}}$$
$${=\frac{3n(n+1)+n(n+1)(2n+1)}{12}}$$
$${=\frac{n(n+1)(3+2n+1)}{12}}$$
$${=\frac{n(n+1)(2n+4)}{12}}$$
$${\sum\limits_{k=１}^n \sum\limits_{k_２=１}^k k_２=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}}$$

さて、２乗和と２重和の代数的解法を得たが、
この２つは図形でも表す事ができる。

２乗和は６つの立体的な階段を
組み合わせた直方体。

２重和も同じ様に６つの図形からなる
直方体として表せる。

１乗和も２つの
図形からなる長方形として表せた様に
冪乗和と重和や総和というのは
配置,図形と深い繋がりがある。

１つの本質が
Σの世界,代数の世界,図形の世界に
顔を出していると言える。

さて、今回は２乗和と２重和を求めたが、
３乗和と３重和やその先は
どう得られるだろうか？
次回、それを書こう。

２重和の図形の引用元
https://x.com/prin_kemkem/status/1801593337830641843