【数学Ⅱ】7²⁰²⁵の桁数を求める【常用対数】

ご挨拶

初めての方ははじめまして．そうでない方はいつもお世話になっております．カカオニブです．
いい加減ゲームじゃない記事も書きたいな～でも◯iita始めるつもりはまだないなぁ～って思ったので，手始めにちょっと大きな数の桁数を調べたいと思います．

問題

$${7^{2025}}$$は何桁か？ただし$${log_{10}{7} = 0.845}$$とする．

問題設定の背景

今年は令和７年，西暦で２０２５年ですね．ということで$${7^{2025}}$$の桁数を求めていきましょう．

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解法例

問題を解く前に$${10^n}$$がどんな数か考えてみましょう．
シンプルに$${10}$$を$${n}$$回掛け合わせた数と言っても良いですが，"1のあとに0が$${n}$$個くっついた数"とも言えることに気がつくでしょうか．
例えば

• $${10^3=1~000}$$は1のあとに0が3個くっついた数

• $${10^8=100~000~000}$$は1のあとに0が8個くっついた数

です．
この事実を使うと以下のことが言えます．

$${10^n}$$は，1が1個(1桁)と0が$${n}$$個($${n}$$桁)をつなげた数，つまり$${n+1}$$桁の数

では実際に問題を解いていきましょう．$${7^{2025}}$$を何回も書くのは冗長なので，数$${a}$$としましょう．
このとき，求める数である「$${a}$$の桁数」を$${N}$$とすると

$$
10^{N-1} \le a < 10^N
$$

が成り立ちます．

次に各辺の常用対数を取ります

$$
\begin{array}{}
 & 10^{N-1} & \le & a &< & 10^N & \\
 & log_{10}{10^{N-1}} & \le & log_{10}{a} &< & log_{10}{10^{N-1}} &
\end{array}
$$

ここに$${log_{a}{b^p}=p~log_{a}{b}}$$を適用すると

$$
\begin{array}{}
 & log_{10}{10^{N-1}} & \le & log_{10}{a} &< & log_{10}{10^{N}} & \\
 & N-1~log_{10}{10} & \le & log_{10}{a} &< & N~log_{10}{10} & \\
& N-1 & \le & log_{10}{a} &< & N & \text{(*)}
\end{array}
$$

$${N}$$に関する不等式が導出できたので式$${(*)}$$に$${a=7^{2025}}$$を代入しましょう．

$$
\begin{array}{}
& N-1 & \le & log_{10}{a} &< & N & \\
& N-1 & \le & log_{10}{7^{2025}} &< & N & \\
& N-1 & \le & 2025~log_{10}{7} &< & N & \\
\end{array}
$$

$${log_{10}{7} = 0.845}$$を代入すると

$$
\begin{array}{}
& N-1 & \le & 2025~log_{10}{7} &< & N & \\
& N-1 & \le & 2025\times0.845 &< & N & \\
& N-1 & \le & 1711.125 &< & N & 
\end{array}
$$

$${N-1 \le 1711.125< N }$$を満たす整数$${N}$$は$${N=1712}$$です．

したがって求める値は1712，つまり$${7^{2025}}$$は1712桁です．

正解

1712桁