さるぶつ道場 波の基本的な性質1解答
壁で反射する縦波がつくる定在波
問題はこちらです.
(1)
図4のように,固定端反射をするときは, $${x>L}$$ の波を $$(L,0)}$$ を中心に点対称に移動させればよいので ③ .
(2)
図5のように,波は反射して位置 $${x}$$ に到達するまでの間に $${L+L-x=2L-x}$$ 進むので,波源を出た波が $${x}$$ に到達する時間は
$${\frac{2L-x}{v}}$$
(3)
$${x=L}$$ で固定端反射をするので,$${y_1}$$ ,$${y_3}$$ の位相は $${x=L}$$ で $${\pi}$$ ずれる.
$$
\begin{array}{}
2\pi f\left(t-\frac{L}{v}\right)+\pi&=&2\pi f\left(t+\frac{L}{v}+\delta \right)\\
\delta&=&-\frac{2L}{v}+\frac{1}{2f}
\end{array}
$$
(4)
(3)より,
$$
\begin{array}{}
y_3&=&A\sin 2\pi f\left(t+\frac{x}{v}-\frac{2L}{v}+\frac{1}{2f}\right)\\
&=&A\sin \left\{2\pi f\left(t-\frac{2L-x}{v}\right)\right\}\\
&=&-A\sin 2\pi f\left(t-\frac{2L-x}{v}\right)
\end{array}
$$
$${0<x<L}$$ における合成波は,
$$
\begin{array}{}
y&=&y_1+y_3\\
&=&A\sin 2\pi f\left(t-\frac{x}{v}\right)-A\sin 2\pi f\left(t-\frac{2L-x}{v}\right)
\end{array}
$$
$${\sin A-\sin B =2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}}$$ を用いて,
$$
\begin{array}{}
y&=&2A\cos 2\pi f \frac{t-\frac{x}{v}+t-\frac{2L-x}{v}}{2}\sin 2\pi f \frac{t-\frac{x}{v}-\left(t-\frac{2L-x}{v}\right)}{2}\\
&=&2A\cos 2\pi f \frac{2t-\frac{2L}{v}}{2}\sin 2\pi f \frac{2\frac{L-x}{v}}{2}\\
&=&2A\cos 2\pi f\left( t-\frac{2L}{v}\right)\sin 2\pi f \frac{L-x}{v}\ \cdots ①
\end{array}
$$
ゆえに,(あ) $${2}$$ (い) $${t-\frac{L}{v}}$$ (う) $${\frac{L-x}{v}}$$
(5)
①式において,$${2\pi f\frac{L-x}{v} }$$ が $${\pi}$$ の整数倍のときに,$${\sin 2\pi f \frac{L-x}{v}=0}$$ (定在波の節)になる. $${n}$$ を整数として,
$$
\begin{array}{}
2\pi f\frac{L-x}{v} &=&\pi n \\
L-x&=&\frac{v}{2f}n\\
x&=&L-\frac{v}{2f}n
\end{array}
$$
$${0<x<L}$$ において壁に最も近いのは,$${n=1}$$ のときである.
$${x=L-\frac{v}{2f}}$$
(6)
$${x=L}$$ で固定端反射をするので, $${2L}$$ が波長 $${\frac{v}{f}}$$ の 倍のときに $${x<0}$$ で波は弱めあう.
$$
\begin{array}{}
\frac{v}{f}m&=&2L\\
f&=&\frac{v}{2L}m
\end{array}
$$
次回は4月8日(土)に更新します.
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