さるぶつ牧場 単振動6解答

鉛直線上を振動するばね振り子の周期

　問題はこちらです．

　単振動の振動の中心は復元力が0の点です．力がつりあう点が原点となるように座標変換して，復元力を “ $${-KX}$$  ” と表しましょう．

　図6のように，ばねが自然長のときのおもりの位置を原点として，鉛直上向きに $${x}$$ 軸をとる．つりあいの位置 $${x_0}$$ は，

$$
\begin{array}{}
-kx_0-m g&=&0\\
x_0&=&-\frac{m g}{k}
\end{array}
$$

　おもりの加速度を $${a}$$ とすると，物体の位置が $${x}$$ のときの運動方程式は，

$$
\begin{array}{}
ma&=&-kx-mg\\
ma&=&-k\left(x+\frac{mg}{k}\right)
\end{array}
$$

　$${X=x+ \frac{mg}{k}}$$ とおくと，

$${ma=- kX}$$

　$${a=-\omega^2X}$$ より，

$$
\begin{array}{}
-m\omega^2 X&=&- kX\\
\omega&=&\sqrt{\frac{k}{m}}\\
T&=&2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
\end{array}
$$

　詳しい説明はこちらのブログか，下の動画を参考にしてください．