さるぶつ牧場 光1解答
ヤングの実験
問題はこちらです.
(1)
光源から出た光を回折させることで,スリット $${S_1}$$ ,$${S_2}$$ に達する光を同位相同偏光にするため.
(2)
三平方の定理より,
$$
\begin{array}{}
\overline{S_1P}&=&\sqrt{L^2+\left(x-\frac{d}{2}\right)^2}=L\sqrt{1+\left(\frac{x-d/2}{L}\right)^2}\\
\overline{S_2P}&=&\sqrt{L^2+\left(x+\frac{d}{2}\right)^2}=L\sqrt{1+\left(\frac{x+d/2}{L}\right)^2}
\end{array}
$$
$${a\ll 1}$$ のときに成り立つ近似式 $${\sqrt{1+\alpha^2}\approx 1+\frac{1}{2}\alpha^2}$$ を用いると,
$$
\begin{array}{}
\overline {S_1P}&=&L\left\{1+\frac{1}{2}\left(\frac{x-d/2}{L}\right)^2\right\}=L+\frac{(x-d/2)^2}{2L}\\
\overline{S_2P}&=&L\left\{1+\frac{1}{2}\left(\frac{x+d/2}{L}\right)^2\right\}=L+\frac{(x+d/2)^2}{2L}
\end{array}
$$
光路差 $${\overline{S_2P}-\overline{S_1P}}$$ は,
$$
\begin{array}{}
\overline{S_2P}-\overline{S_1P}&=&L+\frac{(x+d/2)^2}{2L}-\left\{L+\frac{(x-d/2)^2}{2L}\right\}\\
&=&\frac{dx}{L}
\end{array}
$$
(3)
点Pが明線となる条件は,
$${\overline{S_2P}-\overline{S_1P}=m\lambda}$$
となので,明線の位置 $${x}$$ は,
$${x=\frac{L\lambda}{d}m}$$
明線の位置を $${x_m}$$ とおくと,干渉縞の間隔 $${\Delta x}$$ は,
$$
\begin{array}{}
\Delta x&=&x_{m+1}-x_m\\
&=&\frac{L\lambda}{d}(m+1)-\frac{L\lambda}{d}m\\
&=&\frac{L\lambda}{d}
\end{array}
$$
(4)
$${L\rightarrow l}$$ ,$${x\rightarrow y}$$ として,(2)の結果を利用すると,
$${\overline{S_0S_2}-\overline{S_0S_1}\approx\frac{dy}{l}}$$
$${S_0}$$ から2つのスリット $${S_1}$$ ,$${S_2}$$ を通り,スクリーンに達する光の光路差が強めあう条件は,
$$
\begin{array}{}
&&\overline{S_0S_2}+\overline{S_2P}-\left(\overline{S_0S_1}+\overline{S_1P}\right)\\
&=&\overline{S_0S_2}-\overline{S_0S_1}+\overline{S_2P}-\overline{S_1P}\\
&=&\frac{dy}{l}+\frac{dx}{L}=m\lambda
\end{array}
$$
図2のように,明線の中心では $${m=0}$$ なので,
$$
\begin{array}{}
\frac{dy}{l}+\frac{dx}{L}&=&0\\
x&=&-\frac{L}{l}y
\end{array}
$$
明線の中心は $${x}$$ 軸負の向きに $${\frac{L}{l}y}$$ だけずれる.
(5)
図2より,光路差は $${\overline{S_1P}>\overline{S_2P}}$$ なので,薄膜を $${S_1}$$ に貼り付ければよい.
(6)
$${S_1}$$ に薄膜を貼り付けたとき,図3のように,$${\overline{S_1P}}$$ は $${(n-1)t}$$ だけ増加する.
$${\overline{S_1P}=L+\frac{(x-d/2)^2}{2L}+(n-1)t}$$
$${S_0}$$ から2つのスリット $${S_1}$$ ,$${S_2}$$ を通り,スクリーンに達する光の光路差が強めあう条件は,
$$
\begin{array}{}
&&\overline{S_0S_2}+\overline{S_2P}-\left(\overline{S_0S_1}+\overline{S_1P}\right)\\
&=&\overline{S_0S_2}-\overline{S_0S_1}+\overline{S_2P}-\overline{S_1P}\\
&=&\frac{dy}{l}+\frac{dx}{L}-(n-1)t=m\lambda
\end{array}
$$
原点が明線の中心になるので,$${x=0}$$ のとき $${m=0}$$ である.
$$
\begin{array}{}
\frac{dy}{l}-(n-1)t&=&0\\
(n-1)t&=&\frac{dy}{l}\\
n-1&=&\frac{dy}{lt}\\
n&=&1+\frac{dy}{lt}
\end{array}
$$
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