さるぶつ道場 単振動1解答
ゴムにつり下げられたおもりの単振動
問題はこちらです．
ゴムは縮むと力がはたらかないことと，弾性力は自然長からの伸びである点に注意しましょう．図２のように，半径 $${2d}$$ の円周上を等速円運動する質点を考えると，(4)は解きやすくなります．単振動を考えるときは，必ず単振動は等速円運動の正射影であることを思い出すようにしましょう．
(1) つりあいの位置では，重力と弾性力がつりあっているので，
$$
\begin{array}{}
kd-mg&=&0\\
k&=&\frac{m g}{d}\\
\end{array}
$$
(2) おもりが座標 $${x}$$ にあるときの運動方程式は，
$$
\begin{array}{}
ma&=&-k(x-d)-m g\\
&=&-kx-kd+m g\\
&=&-kx
\end{array}
$$
$${a=-\omega^2x}$$ より，
$$
\begin{array}{}
-m\omega^2x&=&-kx\\
\omega&=&\sqrt {\frac{k}{m}}\\
&=&\sqrt{\frac{g}{d}}
\end{array}
$$
周期 $${T}$$ は，
$${T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{d}{g}}}$$
(3) 原点を基準として，力学的エネルギー保存則を考えると，
$$
\begin{array}{}
m gx_h&=&mg\cdot (-2d)+\frac{1}{2}k\cdot (3d)^2\\
m gx_h&=&-2m gd+\frac{1}{2}\cdot \frac{mg}{d}\cdot 9d^2\\
x_h&=&-2d+\frac{9}{2}d\\
&=&\frac{5}{2}d\\
\end{array}
$$
(4) 図2のように，$${x=-2d}$$ の位置を点Ａ，$${x=d}$$（自然長）の位置を点Ｂ，$${x=x_h}$$（最高点）の位置を点Ｃとする．
区間ABでのおもりの運動は単振動で，区間BCではゴムがたるむので，おもりの運動は鉛直投げ上げである．
図2より，区間ABを移動するのに要する時間 $${t_{\rm AB}}$$ は，周期 $${T}$$ の $${\frac{1}{3}}$$ なので，
$${t_{\rm AB}=\frac{1}{3}\cdot 2\pi\sqrt{\frac{d}{g}}=\frac{2\pi}{3}\sqrt{\frac{d}{g}}}$$
点Ｂでのおもりの速さ $${v_0}$$ は，
$${v_0=2d\omega \cos \frac{\pi}{6}=\sqrt 3 d\omega}$$
最高点では速度が０なので，おもりが区間BCを移動するのに要する時間 $${t_{\rm BC}}$$ は，
$$
\begin{array}{}
\sqrt3 d\omega - gt_{\rm BC}&=&0\\
t_{\rm BC}&=&\frac{\sqrt3 d\omega}{ g}\\
&=&\sqrt{\frac{3 d}{ g}}
\end{array}
$$
したがって，最下点から最高点に達する時間 $${t}$$ は，
$$
\begin{array}{}
t&=&t_{\rm AB}+t_{\rm BC}\\
&=&\left(\frac{2}{3}\pi+\sqrt 3\right)\sqrt{\frac{d}{g}}
\end{array}
$$