さるぶつ道場 光2解答

水槽内から空気中に出る回折光

　問題はこちらです．

　回折光が強めあう条件 $${d\sin\theta =m\lambda}$$ を思い出しましょう．$${m=1}$$ のときは1次，$${m=2}$$ のときは2次というように，中心の回折光（ $${m=0}$$ ）から数えた数を「 $${ m }$$次」と表します．$${m=0,1,2,\cdots}$$ としているので，(2)では絶対値を忘れないようにしましょう．(4)で用いる波長は水中での波長です．(6)，(7)は，答えが整数であることに注意しましょう．

(1)

図3

　回折光は平行と見なせるので，図3より，任意の隣りあう光線 $${l_1}$$ ，$${l_2}$$ の光路差 $${\overline {AB}}$$ は $${d\sin\theta}$$ である．光路差 が波長の整数倍（ $${m}$$ 倍）のときに回折光が強めあうので，

$${d\sin\theta=m\lambda}$$

(2)

図4

　図4より，任意の隣りあう光線 $${l_1}$$ ，$${l_2}$$ の光路差は，

$$
\begin{array}{}
\overline {A'B'}&=&d\sin\phi\\
\overline {AB}&=&d\sin\theta
\end{array}
$$

　したがって，$${m}$$ 次の回折光が強めあう条件は，

$${d\left|\sin\phi-\sin\theta\right|=m\lambda}$$

(3)

　水中での光の波長を $${\lambda'}$$ とすると，屈折率の定義から，

$$
\begin{array}{}
n&=&\frac{\lambda '}{\lambda}\\
\lambda'&=&\frac{\lambda}{n}
\end{array}
$$

(4)

　(1)の結果を利用して，

$$
\begin{array}{}
d\sin\theta&=&m\frac{\lambda}{n} \\
\sin\theta&=&\frac{m\lambda}{nd}
\end{array}
$$

(5)

　スネルの法則より，(4)の結果を利用して，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{n}&=&\frac{\sin \phi}{\sin\theta}\\
\sin\phi&=&n\sin\theta\\
&=&n\cdot \frac{m\lambda}{nd}\\
&=&\frac{m\lambda}{d}\\
\end{array}
$$

(6)

　(4)の結果を利用して，

$$
\begin{array}{}
\sin\theta=\frac{m\cdot 5.3\times 10^{-7}}{1.3\times 2.0\times 10^{-6}}&<&1\\
m&<&\frac{260}{53}\\
m&<&4.9
\end{array}
$$　

　$${m=0,1,2,\cdots }$$ なので，$${m}$$ の最大値は4．

(7)

図5

　(5)の結果を利用して，

$$
\begin{array}{}
\sin\phi=\frac{m\cdot 5.3\times 10^{-7}}{2.0\times 10^{-6}}&<&1\\
m&<&\frac{200}{53}\\
m&<&3.8
\end{array}
$$

　$${m=0,1,2,\cdots}$$ なので，$${m}$$ の最大値は3．図5のように，スクリーン上には $${m=0}$$ の回折光を中心に，回折光が対象に現れるので，回折光の数は7．