さるぶつ道場 仕事と力学的エネルギー2解答
粗い水平面上を数回往復して静止するおもり
問題はこちらです.
(1)点Pから点Qまでのおもりの移動距離は $${x_0-x_1}$$ なので,摩擦力のした仕事 $${W}$$ は,
$${W=-\mu mg(x_0-x_1)}$$
したがって,点Pでの力学的エネルギー $${U_1}$$ と,点Qでの力学的エネルギー $${U_2}$$ の差が,動摩擦力がした仕事 $${W}$$ なので,
$${W=U_2-U_1}$$
$${-\mu mg(x_0-x_1)=\frac{1}{2}kx_1^2-\frac{1}{2}kx_0^2}$$
$${-\mu mg(x_0-x_1)=\frac{1}{2}k(x_1^2-x_0^2)}$$
$${-\mu mg(x_0-x_1)=\frac{1}{2}k(x_1+x_0)(x_1-x_0)}$$
$${x_1+x_0=\frac{2\mu mg}{k}}$$
$${x_1=-x_0+\frac{2\mu mg}{k}}$$
(2) $${N}$$ 回目に折り返すときのばねの伸びを $${x_N}$$ とすると,弾性力 $${f_s}$$ が最大摩擦力 $${f_{Max}}$$ より小さくなるときにおもりは静止する.$${N}$$ 回目に折り返すときの弾性力は $${f_s=kx_N}$$ なので,
$${kx_N<\mu _0 mg=\frac{5kx_0}{16mg}\cdot mg}$$
$${kx_N<\frac{5}{16}x_0}$$
$${\mu=\frac{1}{5}\mu _0=\frac{kx_0}{16mg}}$$なので,(1)の結果より,
$${x_1=\frac{kx_0}{16mg}\cdot \frac{2mg}{k}-x_0=-\frac{7}{8}x_0}$$
次に静止する位置を $${x_2}$$ は,
$${-\mu mg(x_2-x_1)=\frac{1}{2}kx_2^2-\frac{1}{2}kx_1^2}$$
$${x_2=-x_1-\frac{2\mu mg}{k}=\frac{6}{8}x_0}$$
1回折り返すごとに $${\frac{1}{8}x_0}$$ ずつ伸びが小さくなるので $${x_N}$$ は,
$${x_N=\left(1-\frac{1}{8}N\right)x_0}$$
$${x_N<\frac{5}{16}x_0}$$となるとき,おもりは静止するので,
$${\left(1-\frac{1}{8}N\right)x_0<\frac{5}{16}x_0}$$
$${N>5.5}$$
$${N}$$ は整数なので6回目に折り返すときに静止する.位置は $${\frac{1}{4}x_0}$$ である.
詳しい説明はテキストを参考にしてください.