さるぶつ牧場 剛体にはたらく力8解答
粗い床上で鉛直壁に立てかけた棒
問題はこちらです．
剛体が静止し続ける条件の1つである，「任意の点のまわりの力のモーメントが０である．」の，任意の点は都合の良い点と解釈しても良い．この問の場合，力のモーメントの式を立てたときに，項の数が少なくなるような点（軸と作用点までの距離が０になる点）を回転軸にすれば考えやすい．
図1のように，壁が棒に及ぼす垂直抗力を $${N_1}$$ ，床が棒に及ぼす垂直抗力を $${N_2}$$ ，棒にはたらく重力を $${W}$$ ，摩擦力を $${f}$$ とすると，
力のつりあいは，
水平方向：$${N_1-f=0}$$
鉛直方向：$${N_2-W=0}$$
棒と床が接する点の周りの力のモーメントは，
$${W\cos \theta\cdot \frac{l}{2}-N_1\sin \theta \cdot l =0}$$
$${N_1-f=0}$$ より，
$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}W\cos \theta-f\sin \theta &=&0\\
f&=&\frac{W}{2\tan \theta}
\end{array}
$$
最大摩擦力を $${f_{Max}}$$ として，$${f\leq f_{Max}}$$ ならば棒は倒れないので，
$$
\begin{array}{}
f=\frac{W}{2\tan \theta}&\leq&f_{Max}\\
\frac{W}{2\tan \theta}&\leq &\mu _0 N_2\\
\end{array}
$$
$${N_2=W}$$ より，
$${\tan \theta _0\geq \frac{1}{2\mu _0}}$$
詳しい説明はこちらのブログか，下の動画を参考にしてください．