OMC213 参加記
こんばんは
本記事では2024/3/13に開催されたOMC213 (for beginners)感想などを書いていきます。
8問でのbeginnersになります。今回も出られるか当日まで怪しかったのですが、何とか一個タスクが片付いたので、参加しました。これを書いているときぐらいに頑張り始めないといけないです…
ちなみに、来週の二つのコンテストはどちらも賞金ありでいろんな人が参加しそうなので、何とか参加したいところ。
問題ページは以下です。
参加時の動き
直前までタスクをこなしていたので、配点も確認せず、2分ほど前にアクセスしようとしたら、相当重い状態で、そもそも問題ページにアクセスできない。そうこうしているうちにコンテストが始まってしまい、問題ページに行こうとしても502 bad gatewayと表示されてしまう事態に。
何回か試すと問題全体ページにはアクセスできたので、問題番号自体を得ることはできたのですが、個別の問題にアクセスできない。回線自体は問題なさそうだったので、自分だけの問題じゃないと信じて10分ほど掃除してから臨みました。
D
繰り上がるものというのは桁ごとに考えられるが、包除原理的な計算が必要、と思ったところで余事象見ればいいとわかって、繰り上がりがないという条件を考える。これも各桁ごとに見ればよい。sum kC2 = (n+1)C3 なので、12C3 = 220通りなので、1000^3-220^3
A
最初題意把握というか、個人コードとしてありうるものが何なのかを考えてちょっと迷走。最高位が0でない12桁の数が9*10^11個あるということですね。
あとは各桁について先頭のみ1,それ以外は8のとき0~1の2種,0のとき0~9の10種が考えられるため、これを掛けたものが答え。
U君自身の個人コードを含むケースもありうるが、今回は5*10^11以上なので1を引く必要はない。
Dと観点が一緒で、ある種の誘導になっていたのか？
B
交わっている1点を通るか、二直線のどれかと平行か、という場合分け。
ごくごく一般的な中学生向けの参考書にありそう…
ただ難易度そのままで面白くするのは難しいし、100点ということを考えると悪くないかもしれない。
C
square freeと同値
聞き方はちょっと面白い。お手軽で丁度いい。
Bと解いてる人数がさほど変わらないのは意外。
もうちょっと数字大きくてもよかったのかも。
F
一瞬難しそうな雰囲気を感じるが、b_n=3a_n-2とすると b_(n+1)=(b_n)^2で、初項は100^2なので a_n=(100^(2^n)+2)/3 とわかり、これは3…34という形。各位の和は3*2^(n+1)+1で、3*2^5+1= 97 が答え。三角関数や面倒な式が関係するかもと思ったが、そこまで複雑な構造ではなかった。
ここで順位表的にもコンテストが一応続いていることが分かったので、提出した。
E
一瞬図がわからないが、60°と辺の和の条件から自然と正三角形を作る方に頭が働く。
AX=ABなるXを線分AC上に取れば、ABXが正三角形で、XC=BP
これにより、BPC≡CXBとなるため、∠BPC=120°である。あとはAB=x,BP=yとおくと x(x+y)sqrt(3)/4=4017,xysqrt(3)/4=1989 となるので、x^2 = (4017-1989)*4/sqrt(3) となり、これを二乗する。個人的にはやることがわかりやすい条件に感じられた。
H
冷静に期待値の線形性や主客転倒を用いればすぐに計算できる典型なのだけど、何か頭のいい解釈があるのかもなと思って、愚直計算に走った。
a(n,k)でn頂点スコアk のときに漸化式を立てて
S_n = Σk^2a(n,k) として S_(n+1)-S_nを求めて漸化式を立てる、という愚直方針を取った。計算結果がきれいなので検算しやすかった
スコアを辺の組の数に言い換える（主客転倒）話も、E((Σx)^2) = E(x^2)+E(xixj) から計算する話も知っていたのにこの体たらく。
G
Xを中心とした相似拡大9/4の相似拡大と思うことで、XP∩Γ1=A,XQ∩Γ1=Bとおくと、AB//PQで、PQは接線でYA=YBで、XA:AY=XB:BQ=4:5 なので、方べきの定理と合わせればPA,PRがわかり、XYは∠PXQの二等分線なので、XY^2＝XP*XQ-PY*QY(Stewartの特殊版)を計算すればよい。
感想と反省
8問正解39分50秒 ノーペナで4位でした！トラブルがあったのでもろもろ正確な情報とは言えないですし、他の上位勢と比べるとそこまで速くないかもしれませんが、全体的にはそこそこのスピードで解けたと思います。ペナルティが無かったのはかなり良くて、1ページ目どころか、3ページ目まで含めても唯一のようでした。
セットとしては、最初のトラブルでやや埋もれてしまいましたが、分野バランスや点数バランス、また教育的な問題も多く含む良いセットだったと思います。各問題を見るとBは標準的な参考書とかにありそうなタイプの問題だと感じました。こういうのをたくさん集めた教育コンテストを開いたりOMC上に問題集とするのももしかしたら需要があるのかも？一方でCはsquarefreeな数を数えるだけですが、なかなか聞き方面白かったです。E,Gどちらともお手軽な初等幾何で楽しかったです。Hはいろいろやり方があり、どれも典型という感じでしたが、教育的なので、周辺の手法は全部すぐに出てくるようにしたいところです。