OMCB010参加記
おはようございます。
本記事では2024/5/20に開催されたOMCB010の感想などを書いていきます。
OMCBはあまり出るモチベーションが無かったのですが、Writerと6問での出題という所からあらかじめセット提出されているものと判断して、（+Writerさんと結構面識があるので）参加することとしました。
問題ページは以下です。
参加時の動き
配点は 1-2-2-2-3-4
まったりと後ろからやる形に。
ちょっとだけ問題文を読んだら後ろ二問が幾何っぽくてある意味writer色出てるなと思いつつ、後ろから解く
F
三辺をx,y,pとして余弦定理でcosを出し、二倍角で
cos(ABC)=2cos(ACB)^2-1に代入して整理すると
(p-x-y)(p-x+y)(x^2-y^2+px)=0
三角形の成立条件から、一つ目と二つ目は0にならない。
y^2 = x(p+x)
xがpの倍数でないとするとx,x+pが互いに素なのでどちらも平方数となる。
a^2-b^2 = p ⇔ a-b = 1 ⇔ 2b+1 = pで一意に表せる
xがpの倍数とする t = x/p
(y/p)^2=t(1+t) で、右辺は平方数とならないので解なし。
よって、最初のパターンのみで、
x = ((p-1)/2)^2
y = (p^2-1)/4
となる。p=3のときは三角形にならないことに注意。
最初計算間違いで、pについてmod4がらみの条件が出てくると勘違いして1ペナ。
Eを図示して計算が合わなかったので一旦飛ばしてA~Dを一斉に
A
6問中4問分は確定なので無視。
重複あり、順序考慮せず4種類から2つ選ぶ。
B
幾何がここにも出ている。複合分野をたくさん提出すると分野が偏ったコンテストが作れそうだなとか思った。（却下されそうですが）
最初条件過多かと思ったけど、なぜか円の半径の自由度を考えていなかっただけだった。
順当に三平方を複数回使って方程式を解くだけ。
C
典型かと思いきや総和なので一つ思考が必要。
2はいくらでもかけ合わさっていてよい。奇素数に対しては(1+p+p^2+…)が奇数になる必要があるので、偶数個かけられている。
2^任意*奇^偶という形を探す。これは平方数と2*平方数の集合と一致するので、[√N] + [√(N/2)]となる。
総和の式→偶奇から2^任意*奇^偶→平方数に言い換え
となる一方で、後ろの平方数の言いかえはできなくても数え上げられてしまう量で、シンプルながら教育的な問題と思った。お手軽さ的にSNSでヒットしそうな問題だなと思った。（実際LIKEも多い）
D
最初 (偶奇)*nと(奇偶)*nしかないと思い誤答。
(奇偶)*a(偶奇)*bがOKなので、aの範囲が81通りある。
最初の誤答だと160個ある意味がないので気づくべきではある。
E
即座にBCの中点Mを取ってOM=1 cos∠BOM=1/3=cos∠BAC
よって、AP=2x,PB=3xとすると、AC=6x
BC=4√2なので、(6x)^2-(2x)^2=CP^2+BP^2=BC^2=32
面積は30x^2*2sqrt(2)/3*1/2を求めればよい。
最初遠回りした上に面積がa√b/cという形にならず、時間をつぶしてしまった。
ところで、この問い方だとa,cがbと互いに素な数（今回だと奇数）倍されてても答えになるので（960√2/123とかでも条件を満たしている）、a,cが互いに素、とかがないとダメですね。104Fが同じ形式でした。
コンテスト後も、あまりちゃんと調べてないですがそこまで話題になってなさそうでしたし、水を差したくなかったですし、当日私がタスクの合間に出ていたこともあったので特に触れませんでしたが。
感想と反省
6問正解39分8秒3ペナで14位でした。ペナルティが嵩んだだけでなく、そもそも方針選択に反省点が多く、かなりお粗末な結果となりました。
個人的にはそこまで難しくないように思えるセットで、意地悪なひっかけもなかった（＝ペナルティが重い）ので、久々に40位より下かという感触でしたが、思ったよりも問題自体が難しかったようで、順位としては悪くはなかったです。
問題セット全体としては点数的に幾何が多めでしたが、問題自体はセット提出されているだけあって、コンセプトも感じられて、4bらしさもあったセットでした。
個別の問題としてはC,Fがよかったと思います。Aも今回のセットの自己言及的な問題なのでコンセプトが見えていいかなと思います。
Cについては既出という話もありますが、簡単な問題の中でも、素朴かつ考察で計算を楽にできるという所の基礎が詰まった問題ということで、初心者受けがよさそうだなと思いました。
Fについては、割と素朴な設定ではありますが、この条件で素数に対して一意に決められるのはちょっと面白いと思いました。解き方もたくさんあって、どれも割と典型の積み重ねのような形なので、教育的でもあると思いました。
全体的に自分の立ち回りについては計算間違い、考察間違い、条件整理間違いなどが多く、かなり酷い状況だったので、これが4bで助かりはしましたが、今後気を付けないといけません。
（今回は雑多なトピックスは少し忙しい関係で一旦パスさせていただきます）