力学を運動量表示で
先日，解析力学のゼミをしていておもしろい話題が出たので共有させてください．
解析力学で力学の問題を考えるとき，ふつうは$${(q,\dot{q})}$$を変数にとるLagrange形式か，LagrangianをLegendre変換して得られるHamilton形式のどちらかをとると思います．ここで，Hamiltonian $${H(q,p)}$$をLegendre変換して変数を$${(q,p)}$$から$${(\dot{p},p)=\left(-\frac{\partial H}{\partial q}, p\right)}$$に変えたら運動方程式などの関係はどのように記述されるのでしょうか．
運動量表示の運動方程式
上記のHamiltonian $${H}$$を以下のように変換します．ただし，HamiltonianおよびLagrangianは二回微分可能であるとします．（以下では簡単のため一次元系について考えますが，一般の$${N}$$次元系への拡張は容易に行うことができます．）
$$
K(\dot{p},p)=H(q(p,\dot{p}),p)-\frac{\partial H}{\partial q}q\\
=H+\dot{p}q=\dot{p}q+p\dot{q}-L\\
$$
（ここで注意が必要なのがLegendre変換を一意に定めるために，$${\partial_q^2H>0\ (\partial_q^2H<0)}$$が成り立っていることを確認しなければならないということです．例えば，$${H=\frac{p^2}{2m}+mgq}$$のようなHamiltonianについてKを定義することはできません．）
ここで現れた$${K(\dot{p},p)}$$はLagrangianの運動量表示に相当することを示します．さて，この$${K}$$の微分は
$$
dK=q\ d\dot{p}+\dot{p}\ dq+\frac{\partial H}{\partial q}dq+\frac{\partial H}{\partial p}dp\\
\,\\
=q\ d\dot{p}+\frac{\partial H}{\partial p}dp=q\ d\dot{p}+\dot{q}\ dp
$$
で与えられ，一般に成り立つ関係式
$$
dK=\frac{\partial K}{\partial \dot{p}}d\dot{p}+\frac{\partial K}{\partial p}dp
$$
と比較することによって，以下の運動方程式を得ます：
$$
\dot{q}=\frac{\partial K}{\partial p},\quad q=\frac{\partial K}{\partial \dot{p}}
$$
上の2つの式を合わせることによって，以下の方程式を得ます：
$$
\frac{\partial K}{\partial p}-\frac{d}{dt}\frac{\partial K}{\partial \dot{p}}=0
$$
これは，Lagrange形式におけるEuler-Lagrange方程式の運動量バージョンに他なりません．また，ここでは$${p}$$に共役な物理量として$${q=\frac{\partial K}{\partial \dot{p}}}$$が定義されています．これらは，Lagrange形式において，$${L}$$を$${K}$$とし，$${q}$$と$${p}$$の役割を入れ替えたものです．（なんと！）
これまであらわな時間依存性について考えてませんでしたが，時間にあらわな依存性があるとき
$$
\frac{\partial K}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}
$$
で与えられます．
Lagrange形式の諸定理との関係
以上で見た通り，$${L}$$と$${K}$$（つまりは$${q}$$と$${p}$$）には著しい対称性があり，Lagrange形式で導かれた定理や結果（Noetherの定理など）をそのまま転用することができます．
例1：Noetherの定理
微小な変数変換$${(\dot{p},p)\rightarrow(\dot{p}+\epsilon_i \dot{F}^i,p+\epsilon_i F^i)}$$について考えます．ここで，添え字の$${i}$$で和を取ります．以上の変換の下での$${K}$$の微小変化を$${\delta K}$$とし
$$
\delta K=\epsilon_i\frac{d}{dt}Y^i
$$
が成り立つような関数$${Y^i}$$が存在するとき，以下の量$${Q^i}$$は保存量です：
$$
Q^i=\frac{\partial K}{\partial \dot{p}}F^i-Y^i
$$
この定理の証明はLagrange形式でのそれと全く同様に行うことができます．
例2：一次元調和振動子
以下のようなHamiltonian$${H}$$を考えます：
$$
H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2q^2
$$
ここで$${\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}=-m\omega^2q}$$より$${q=-\frac{\dot{p}}{m\omega^2}}$$であるので
$$
K=\dot{p}q+H=\frac{p^2}{2m}-\frac{\dot{p}^2}{2m\omega^2}
$$
です．$${(\dot{p},p)}$$についてのEuler-Lagrange方程式を当てはめることで，運動方程式
$$
\frac{p}{m}+\frac{\ddot{p}}{m\omega^2}=0
$$
を得ます．
考察
以上では$${(\dot{p},p)}$$表示での力学について述べました．これまでLagrangianを定義し，その変分を考えることで運動方程式を導出するという形で議論を進めましたが，逆に作用$${S'}$$を$${K(\dot{p},p,t)}$$によって定義し，運動方程式を導くことも可能です．作用$${S'}$$を以下のように定義します：
$$
S'=\int dt\ K(\dot{p}(t),p(t),t)
$$
Lagrange形式と同様に，条件$${\delta S'=0}$$を課すことによってEuler-Lagrange方程式から運動方程式が得られます．そこから，これまでの議論を逆に進めることによって，HamiltonianおよびLagrangianを求めることが可能です：
$$
K\leftrightarrow H \leftrightarrow L
$$
上の関係で，$${K,H,L}$$は互いにLegendre変換でつながっています．
結論
これまで，運動量$${p}$$と位置$${q}$$の対称性について述べました．この議論にこのような対称性があるのはある意味で自明なことかもしれませんが，実際に確認してみて自分の解析力学の理解が深まったように感じます．