数学の面白さ　#メルセンヌ数

聞いたことのない単語。
メルセンヌ数。

メルセンヌ数=2n-1で求められる数値。
ちなみにメルセンヌ数の中で素数のものをメルセンヌ素数という。

何のためにあるとか意味はない。
ある特徴があるだけ。

特徴①
2進法で表示した時に全て1になる。
その前にまず、2進法の表し方。
0→0
1→1
2→10
3→11
4→100
5→101
6→110
7→111
8→1000
9→1001
10→1010
11→1011
12→1100
13→1101
14→1110
15→1111
てな具合。

この時に桁が全て1になっている数値がメルセンヌ数。
1：n=1の場合、2-1=1
3：n=2の場合、2×2-1=3
7：n=3の場合、2×2×2-1=7
15：n=4の場合、2×2×2×2-1=15

特徴②
2n−1で求めた数値の2進法の桁数とnの値が同じになる。

どーゆー事か。
例えば、3。

3は2進法で11。
3は2n-1で言うとnが2の場合、2×2-1=3。

2進法で表した時の桁数は2。
2n-1のnも2。
一致する。
これがメルセンヌ数。以上。

一応、他でもやってみる。
少し大きくして、511。
511は2進法で表すと、111111111。桁数は9。
511は2n-1でいうとnが9の場合、
2×2×2×2×2×2×2×2×2-1=511。
2を9回かけて1を引くと511。
一致する。

それだけ。
パズルのように面白いだけ。