【数学検定】 8の倍数であることを示せ！

息子は、目下3級の対策中ですが過去問をぐるぐる回しているので数字までとは言いませんがパターンを覚えてきたのがあるので、ちょっと背伸びして準２級の問題に挑戦してもらいました。

実用数学技能検定過去問題集 数学検定準2級

問題設定

「隣接する奇数の２乗の差は必ず８の倍数になることを示しなさい」というもの。具体的には

$$
\begin{align*}
3^2 - 1^2 &= 8 \times 1  \\
5^2 - 3^2 &= 25-9 = 16 = 8 \times 2 \\
7^2 - 5^2 &= 49-25=24=8 \times 3
\end{align*}
$$

という感じで正しそうですね。取り敢えず息子と捻り出したのは次の解法：

方式１：文字式を使おう

中学・高校数学・や３級の問題でもよくあるパターンで「題意の数など（今回で言う奇数）を文字式で一般的に表そうぜ」というもの。この方式だと、、小さい方の数を $${2n-1}$$とすれば大きい方は $${2n+1}$$ですので

$$
\begin{align*}
(2n+1)^2 - (2n-1)^2 &= \{(2n+1) + (2n-1)\} \times \{ (2n+1) - (2n-1) \} \\
&= (4n) \times 2 \\
&= 8 \times n
\end{align*}
$$

となって、8の整数倍、つまり8の倍数って示せますね。これがまぁ、オーソドックスですかね。
１つ話に上がったのは、$${(2n+1)^2 - (2n-1)^2}$$の式を展開するか因数分解するかって話。学生の頃に家庭教師や受講師をやってた経験だと何かって言うと文字式はみんな展開したがるのですが、今回の問題は「8の倍数であることを示す」なので、出来ることなら8x(整数)と変形したいわけですよね。
だとすれば掛け算の形に持ち込むためには因数分解の方が答えに近づくんじゃね？というのは思いついて欲しいところですね。
今回は8nとなったので結果往来じゃね？という話もありますが（笑）

まぁ、少しずつ考え方についてもバリエーションが増やせればいいですね。

方式２：合同式を使う

今の数学Ⅰ、Aのどちらかかの教科書に載っていたので使っていいと思いますが、問題のゴールが「８の倍数であることを示す」んであればmod 8の世界で0であることを示せばいいじゃん、と発想する感じです。

合同式自体の説明はこのサイトなどをご覧下さい（↓）

合同式(mod)の意味とよく使う６つの性質 | 高校数学の美しい物語

mod 8の世界で考えるなら、隣り合う２つの整数については、小さい方の奇数が1, 3, 5, 7の各々のケースで考えて全て0であることを言えば良い、というのが方針でしょうか。答案っぽく書くなら、、

（証明）隣接する奇数のうち小さい方をnとおけば、mod 8においてn=1, 3, 5, 7で、与題が示せれば充分。
(1) $${n\equiv 1}$$ の場合
　次の大きな奇数は $${n+2\equiv 3}$$ なので $${ 3^2 - 1^2 = 9-1 = 8\equiv 0}$$ (mod 8)
(2) $${n\equiv 3}$$の場合
　(1)と同様に$${n+2\equiv 5}$$だから $${ 5^2 - 3^2 = 25-9 = 16\equiv 0}$$ (mod 8)
、、（あとは同様な計算をn=5, 7でも示しましょう、、）
以上より、与題が正しい■

この場合、冒頭の具体的な計算式がそのまま使えるので楽ちんっちゃ楽ちんですね。
ただ、どうなんだろうな、数学検定に限って合同式使っちゃいけません！的なローカルルールとかあるんだろうか（なければいいけどなー）。