量子計算学習ノート - 外積・完全性関係

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この記事は「量子コンピュータと量子通信 (オーム社)」の読書ノートです。

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この記事ではディラックの表記において有益な外積を定義することにする。いつも通りヒルベルト空間を$${V, W}$$とし、その中からベクトルをとってそれぞれ$${|v\rangle, |w\rangle}$$とする。このとき、$${V}$$から$${W}$$への線形オペレータ$${|w\rangle \langle v|}$$を次のように定義する。

$$
( |w\rangle \langle v| ) |v'\rangle \equiv \langle v|v'\rangle |w\rangle
$$

この外積の定義は線形オペレータ $${\langle v|}$$ の作用と密接な関係を持っている。実際この定義によれば、外積の表記$${|w\rangle \langle v|}$$の一部である$${\langle v|}$$が、あたかも内積を返す線形オペレータ$${\langle v|}$$であると解釈しても矛盾が生じない。

この外積の表現を用いて、大切な完全性関係という公式を導き出すことができる。$${V = W}$$とし、$${V}$$のCONSを$${\{|v_i\rangle\}}$$とおくと次の等式が成り立つ。

$$
\sum_i |v_i\rangle \langle v_i| = I
$$

ここで $${I}$$は単位オペレータである。実際に左辺に適当なベクトル $${|v\rangle = \sum_j a_j |v_j\rangle}$$を作用させてみると、この式の正当性はよくわかる。

$$
\sum_i |v_i\rangle \langle v_i| |v\rangle = \sum_{ij} a_j |v_i \rangle\langle v_i|v_j\rangle = \sum_{ij} a_j \delta_{ij} |v_i\rangle = |v\rangle
$$

さて、完全性関係から任意の線形オペレータをディラックの表記に落とし込むことができる。$${V, W}$$に対し、それぞれの単位オペレータを$${I_V, I_W}$$、CONSを$${\{v_i\}, \{w_i\}}$$とおく。$${V}$$から$${W}$$への任意の線形オペレータを$${A}$$とすると

$$
\begin{array}{ll}
A & \\
= & I_W A I_V \\
= & \sum_{ij} |w_i\rangle\langle w_i| A |v_j\rangle \langle v_j | \\
= & \sum_{ij} \langle w_i| A |v_j\rangle |w_i\rangle\langle v_j |
\end{array} 
$$

となる。線形オペレータの回を思い出すと $${\langle w_i| A |v_j\rangle}$$ はCONS$${\{v_i\}, \{w_i\}}$$における行列表現$${M_A}$$の$${ij}$$成分であることがわかる。これが外積表記における線形オペレータのディラックの表記であり、今後しばしば登場することになるだろう。