ポアソン積分と石鹼膜の定理

ポアソン積分と石鹼膜の定理
 
 

定理（ポアソン積分）
$${f\left( z \right)}$$を単位円（$${\left| z \right|<1}$$）の上で解析的、$${\operatorname{Re}f\left( z \right)}$$ が閉単位円（$${\left| z \right|\le 1}$$ ）で連続、$${f\left( 0 \right)}$$ は実数とするとき次の積分公式が成り立つ。$${\left| z \right|<1}$$のとき、
$${f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}\operatorname{Re}f\left( {{e}^{it}} \right)dt}}$$

証明　まず
$${\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}=\frac{1+{{e}^{-it}}z}{1-{{e}^{-it}}z}=-1+2{{\left( 1-{{e}^{-it}} \right)}^{-1}}}$$
$${=1+2{{e}^{-it}}z+2{{e}^{-2it}}{{z}^{2}}+2{{e}^{-3it}}{{z}^{3}}+\cdots }$$
において級数は$${\left| z \right|<1}$$で絶対収束している。$${k=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots }$$
$${\int\limits_{0}^{2\pi }{{{e}^{ikt}}dt=0}}$$
 
したがって、$${k=1,2,3,\cdots }$$に対して
$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}{{e}^{ikt}}dt}}$$＝$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\left( 1+2{{e}^{-it}}z+2{{e}^{-2it}}{{z}^{2}}+2{{e}^{-3it}}{{z}^{3}}+\cdots \right){{e}^{ikt}}dt=2{{z}^{k}}}}$$
$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}{{e}^{-ikt}}dt}=0}$$
よって、最初の式に$${{{a}_{k}}}$$ を掛け、後の式に$${\overline{{{a}_{k}}}}$$を掛けて加えると
$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}\left( {{a}_{k}}{{e}^{ikt}}+\overline{{{a}_{k}}}{{e}^{-ikt}} \right)dt}=2{{a}_{k}}{{z}^{k}}}$$
すなわち、
$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}\operatorname{Re}\left( {{a}_{k}}{{e}^{ikt}} \right)dt}={{a}_{k}}{{z}^{k}}}$$
がわかる。仮定より$${f\left( 0 \right)={{a}_{0}}=\operatorname{Re}{{a}_{0}}}$$であるので、
結局
$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}\operatorname{Re}\left( \sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{a}_{k}}{{e}^{ikt}}} \right)dt}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{a}_{k}}{{z}^{k}}}}$$
これは
$${f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}\operatorname{Re}f\left( {{e}^{it}} \right)dt}}$$
にほかならない（証明終わり）
 
$${Re \frac{1}{2\pi }\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}=\frac{1}{2\pi }\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}=\frac{1}{2\pi }\frac{1-{{r}^{2}}}{1-2r\cos \left( t-\theta \right)+{{r}^{2}}}}$$
はPoisson核とよばれ、上の定理から、
$${\operatorname{Re}f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}\operatorname{Re}f\left( {{e}^{it}} \right)dt}}$$
が成り立つことがわかる。しかし、実際はコーシーの積分定理をつかえば
$${f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}f\left( {{e}^{it}} \right)dt}}$$
をしめすことができる。
 
次の定理は石鹸膜の定理soap bubble theorem　として知られている。

定理（soap bubble theorem）
$${h\left( x \right)}$$ は実数$${x}$$ についての連続な2π周期関数とする。このとき、単位円（$${\left| z \right|<1}$$ ）で 解析的な関数$${f\left( z \right)}$$で、$${f\left( 0 \right)}$$ は実数、$${\operatorname{Re}f\left( z \right)}$$は閉単位円（$${\left| z \right|\le 1}$$ ）で連続、$${h\left( t \right)=\operatorname{Re}f\left( {{e}^{it}} \right)}$$をみたしているものが存在する。

複素平面のなかにある$${{{e}^{it}}}$$のうえ（垂直方向に$${h\left( t \right)}$$があり、$${t}$$ を変化させると3次元空間のなかに曲線$${C}$$を描く。また、単位円内の$${z}$$ の上（垂直方向に）$${\operatorname{Re}f\left( z \right)}$$ をおくと、同じ3次元空間に曲面$${S}$$を描く。この局面は$${C}$$により包まれている。つまり、$${C}$$をワイヤーとしてそのワイヤーを淵とする石鹸膜が$${S}$$である、この$${S}$$は$${f}$$という正則関数にたいする最大値の定理によりこぶのような凸凹を作らない。
 
証明）
$${f\left( z \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{e}^{it}}+z}{{{e}^{it}}-z}h\left( t \right)dt}}$$
とおくと、ポアソン積分の定理から$${h\left( t \right)=f\left( {{e}^{it}} \right)}$$がいえる。

$${z \to {{e}^{iu}}, \left| z \right|<1}$$のとき$${h\left( u \right)=\lim{Re}f\left( z \right)}$$

を示せば証明は完結する。いま、$${u=0}$$の場合を示す（一般の場合も同様だが式が複雑になってしまうため）
つまり、

$${z \to 1, \left| z \right|<1}$$のとき$${{\lim \frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}h\left( t \right)dt}}=h(0)}$$

をいう。これはPoisson核の性質からよく知られていることなのだが以下証明をのべる。
$${\lim \frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}\left| h\left( t \right)-h\left( 0 \right) \right|dt=0}}$$
を示せばよい。
 
$${\left| h\left( t \right)-h\left( 0 \right) \right|}$$ は連続で、周期が2πの関数であるから、有界$${\left| h\left( t \right)-h\left( 0 \right) \right|< M}$$としてよい。
また、$${\varepsilon >0}$$にたいして$${\delta <\pi }$$が存在$${\left| t \right|<\delta }$$$${\Rightarrow }$$$${\left| h\left( t \right)-h\left( 0 \right) \right|<\varepsilon }$$とできる。積分範囲を２つにわけて
$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}\left| h\left( t \right)-h\left( 0 \right) \right|dt}}$$
$${=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\delta }^{\delta }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}\left| h\left( t \right)-h\left( 0 \right) \right|dt}}$${}$${+\frac{1}{2\pi }\int\limits_{\delta }^{2\pi -\delta }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}\left| h\left( t \right)-h\left( 0 \right) \right|dt=0}}$$
$${\le \frac{\varepsilon }{2\pi }\int\limits_{-\delta }^{\delta }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}dt}}$$$${+\frac{M}{2\pi }\int\limits_{\delta }^{2\pi -\delta }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}dt}}$$$${\le \frac{\varepsilon }{2}+}$$ $${\frac{M}{2\pi }\int\limits_{\delta }^{2\pi -\delta }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}dt}}$$
 
ここで、$${\delta \le t\le 2\pi -\delta }$$ で$${\left| 1-{{e}^{i\delta }} \right|\le \left| {{e}^{it}}-z \right|}$$となるぐらい、$${z\approx 1}$$にとると
$${\frac{M}{2\pi }\int\limits_{\delta }^{2\pi -\delta }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}dt}\le M\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| 1-{{e}^{i\delta }} \right|}^{2}}}}$$
$${1-{{\left| z \right|}^{2}}=\left( 1-\left| z \right| \right)\left( 1+\left| z \right| \right)\le 2{{\left| 1-z \right|}^{2}}}$$となるので、
$${16M\left| 1-z \right|\le {{\left| 1-{{e}^{i\delta }} \right|}^{2}}\varepsilon }$$ をみたすように$${z\approx 1}$$をとると
$${\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}\left| h\left( t \right)-h\left( 0 \right) \right|dt}}$$$${\le \varepsilon }$$となる。$${\varepsilon }$$ は任意なので
$${\lim \frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{{{\left| {{e}^{it}}-z \right|}^{2}}}\left| h\left( t \right)-h\left( 0 \right) \right|dt=0}}$$
が示された。

西川青季著：
等長地図はなぜできない（地図と石鹸膜の数学）
日本評論社
ISBN978-4-535-78734-6
のp.220に

境界が円周の場合、
石鹸膜がポアソン積分により書ける
ことが説明されている。
しかし、一般の境界では石鹸膜はかなり複雑である。