関数解析学への道程-----

関数解析学への道程-----
１．線形位相空間$${X}$$ においてその位相が$${\rho \left( x,y \right)=\rho \left( x-y,0 \right)}$$をみたす距離$${\rho }$$ により定められており、その距離に関して完備である場合$${X}$$ は$${F}$$ 空間（フレシェ空間）と呼ばれる。
線形位相空間$${X}$$ 上の擬ノルムquasi-normとは、非負実数関数$${q}$$ でつぎを満たすものである。
(a) $${q\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0}$$
(b)$${x\in X}$$ とスカラ$${\lambda }$$に対し
$${q\left( \lambda x \right)=\left| \lambda \right|q\left( x \right)}$$
(c) ある定数$${{{C}_{X}}}$$ があり、$${x,y\in X}$$に対して$${q\left( x+y \right)\le {{C}_{X}}\left( q\left( x \right)+q\left( y \right) \right)}$$
$${F}$$ 空間の点$${x}$$ の近傍の基basisは$${\left\{ y:q\left( x-y \right)<\varepsilon _{{}}^{{}} \right\}}$$ ,$${\varepsilon >0}$$ であたえられる。
特に$${{{C}_{X}}=1}$$となる quasi-norm がnormである。
２．線形位相空間$${X}$$の各点$${x}$$ にノルム$${\left\| x \right\|}$$が定義されており、$${\rho \left( x,y \right)=\left\| x-y \right\|}$$ による距離で完備な空間は Banach空間と呼ばれる。（Banach空間は同時にF空間でもある）。
３．$${X}$$と$${Y}$$をBanach空間、$${T:X\to Y}$$を線形写像とする。
$${T}$$が連続$${\Leftrightarrow }$$
$${\left\| T \right\|=\sup \left\{ \left\| Tx \right\|:\left\| x \right\|\le 1 \right\}<\infty }$$
$${L\left( X,Y \right)}$$を$${X}$$から$${Y}$$への 連続な線形写像のつくる空間とする。
$${L\left( X,Y \right)}$$はノルムを
$${\left\| T \right\|=\sup \left\{ \left\| Tx \right\|:\left\| x \right\|\le 1 \right\}}$$
とするバナッハ空間となる。
４. ３の特別な場合として$${Y={{\mathbb{R}}^{{}}}}$$または$${\mathbb{C}}$$ の場合 $${L\left( X,Y \right)}$$を$${{{X}^{*}}}$$と書きその元を線形汎関数とよぶ。$${{{x}^{*}}\in {{X}^{*}}}$$ のノルムは
$${\left\| {{x}^{*}} \right\|=\sup \left\{ \left\| {{x}^{*}}\left( x \right) \right\|:\left\| x \right\|\le 1 \right\}}$$
で定義される。$${{{X}^{*}}}$$はBanach空間である。
5. Open mapping theorem開写像定理
$${X}$$ と$${Y}$$をBanach空間、$${T:X\to Y}$$ を$${T\left( X \right)=Y}$$とする。このとき、
$${T}$$は開集合を開集合に写す。
６．closed graph theorem閉グラフ定理
$${X}$$と$${Y}$$ をF-空間とする。
$${T:X\to Y}$$を線形作用素（連続とは限らないが定義域が$${X}$$全体）とする。
$${T}$$ のグラフ$${\left\{ \left( x,Tx \right):x\in X \right\}\subset X\times Y}$$が直積位相で閉であるとき、$${T}$$は連続である。
7.Banach-Steinhaus バナッハスタインハウスの定理
$${{{\left( {{T}_{\gamma }} \right)}_{\gamma \in \Gamma }}}$$ をバナッハ空間$${X}$$からバナッハ空間$${Y}$$ への中への線形写像の族とする。すべての$${x\in X}$$について$${\sup \left\{ \left\| {{T}_{\gamma }}x \right\|:\gamma \in \Gamma \right\}<{{\infty }^{{}}}}$$のとき、$${\sup \left\{ \left\| {{T}_{\gamma }} \right\|:\gamma \in \Gamma \right\}<{{\infty }^{{}}}}$$が成り立つ。
8.Hahn-Banach theoremハーンバナッハの定理
$${X}$$を実数をスカラとする線形空間とする。$${Y}$$ を$${X}$$の部分空間（$${Y\subset X}$$ ）とする。関数
$${p:X\to \mathbb{R}}$$が $${x,y\in X}$$に対して$${p\left( x+y \right)\le p\left( x \right)+p\left( y \right)}$$、
$${p\left( tx \right)=tp\left( x \right),t\ge 0}$$
をみたすとする。ある線形写像$${f:Y\to \mathbb{R}}$$ で、すべての$${y\in Y}$$ で$${f\left( y \right)\le p\left( y \right)}$$ が成り立つなら、線形写像$${F:X\to \mathbb{R}}$$が存在して$${F\left| Y \right.=f}$$ かつ$${-p\left( -x \right)\le F\left( x \right)\le p\left( x \right)}$$ がすべての$${x\in X}$$でなりたつ。すなわち、$${p}$$で抑えられる条件を保ったまま$${f}$$は$${F}$$に拡大できる。
９．８において$${p\left( x \right)=\left\| x \right\|}$$とする。$${X}$$をバナッハ空間（スカラは複素数）とする。$${Y}$$ を$${X}$$の部分空間（$${Y\subset X}$$）とする。$${{{y}^{*}}\in {{Y}^{*}}}$$にたいして$${{{x}^{*}}\in {{X}^{*}}}$$ が存在して、$${\left\| {{x}^{*}} \right\|=\left\| {{y}^{*}} \right\|}$$ 、$${{{x}^{*}}\left| Y \right.={{y}^{*}}}$$が成り立つ。とくに、
$${\left\| x \right\|=\sup \left\{ \left\| {{x}^{*}}\left( x \right) \right\|:{{x}^{*}}\in X,\left\| {{x}^{*}} \right\|\le 1 \right\}}$$
 
 
 
 
いくつかの書物を参照するとき
さまざまなノルムの定義があるのだが微妙なゆらぎがあることに気が付いた。手元にあるものをすこし眺めてみると
 
（I）宮島静雄　関数解析　横浜図書
セミノルムseminorm$${p}$$とは
$${p\left( x+y \right)\le p\left( x \right)+p\left( y \right)}$$ ,
$${p\left( \lambda x \right)=\left| \lambda \right|p\left( x \right)}$$
を満たすものでノルムの条件から
$${p\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0}$$ の条件を除いたもの
擬距離pseudo-metric：距離の条件から$${d\left( x,y \right)=0\Leftrightarrow x=y}$$ の条件を除いたもの
擬ノルム $${\left| x \right|\ge 0}$$, $${\left| x \right|=0\Leftrightarrow x=0}$$ ,
$${\left| \lambda \right|<1}$$のとき、
$${\left| \lambda x \right|\le \left| x \right|}$$ 、$${\left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|}$$
 Freche 空間フレシェ空間
局所凸位相空間$${X}$$ が完備で距離付け可能な時、$${X}$$はフレシェ空間と呼ばれる。
 
（II）吉田耕作：Functional Analysis, Springer
 
セミノルムseminorm
$${p\left( x+y \right)\le p\left( x \right)+p\left( y \right)}$$ ,
$${p\left( \lambda x \right)=\left| \lambda \right|p\left( x \right)}$$
線形空間$${X}$$はつぎの条件をみたすquasi-normと呼ばれる実数 $${\left\| x \right\|}$$をもつとき、 quasi-normed spaceと呼ばれる。
$${\left\| x \right\|\ge 0}$$ 、$${\left\| x \right\|=0\Leftrightarrow x=0}$$ 、
$${\left\| -x \right\|=\left\| x \right\|}$$ 、$${\underset{{{\alpha }_{n}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left\| {{\alpha }_{n}}x \right\|=0}$$ 、$${\underset{\left\| {{x}_{n}} \right\|\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left\| \alpha {{x}_{n}} \right\|=0}$$
BOURBAKIは、quasi-normedで完備な局所凸位相空間のことをFreche 空間と定義した。
F-space : quasi-normedで完備な線形位相空間のこと
 
(III) John Conway ,  A course in functional analysis,　Springer
 
セミノルムseminorm
$${p\left( x+y \right)\le p\left( x \right)+p\left( y \right)}$$ ,$${p\left( \lambda x \right)=\left| \lambda \right|p\left( x \right)}$$　for all $${x,y\in X}$$ ,$${\lambda \in \mathbb{F}}$$
Locally convex space is a topological vector space whose topology is defined by a family of seminorms $${\mathcal{P}}$$such that $${\bigcap\nolimits_{p\in \mathcal{P}}{\left\{ x:p\left( x \right)=0 \right\}=\left\{ 0 \right\}}}$$.
A Freche space is a TVS $${X}$$whose topology is defined by a translation invariant metric $${d}$$and that $${\left\{ X,d \right\}}$$is complete.　ただし、translation invariant metricとは
$${d\left( x+z,y+z \right)=d\left( x,y \right)}$$のことで $${d\left( x,y \right)=d\left( x-y,0 \right)}$$としてもおなじ。
（IV）山中健　線形位相空間と一般関数　共立出版
円形凸集合ばかりからなる０の基本近傍系を持つ線形位相空間を局所凸（線形位相）空間locally convex topological spaceという
Banach空間も局所凸空間の一種であって、これに関しては古くから詳しく調べられているが、Banach空間論だけでは足りない応用問題が最近は多くなっている。また、一つには線形位相空間におけるもっとも中心的役者である線形汎関数が局所凸でないと十分多く存在しないため面白い理論が展開できない・・・・
どうも局所凸位相空間が大切らしい。