Alaogluの定理

Alaogluの定理
 
バナッハ空間$${X}$$ の単位球$${\left\{ f\in X:\left\| f \right\|\le 1 \right\}}$$を$${{{\left( X \right)}_{1}}}$$という記号で表す。
そのとき、次の定理が成り立つ。
 
定理(Alaoglu)
バナッハ空間$${X}$$ の共役空間の単位球$${{{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}}}$$は$${{{w}^{*}}}$$ トポロジーでコンパクトである。
 
証明： $${{{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}}}$$がチコノフの定理でコンパクトが保証されている無限積で作る空間の閉部分集合と同型（1対1で上への写像がある）を示す。
 $${f\in {{\left( X \right)}_{1}}}$$に対して、$${\mathbb{C}_{1}^{f}}$$ を$${\mathbb{C}}$$ における単位円とする（index $${f}$$を変えるごとに同じ単位円$${{{\left( \mathbb{C} \right)}_{1}}}$$が無数にできる）。$${\mathbf{P}=\prod\nolimits_{f\in {{\left( X \right)}_{1}}}{\mathbb{C}_{1}^{f}}}$$ はチコノフの定理よりコンパクトである。$${{{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}}}$$から$${\mathbf{P}}$$ への写像$${\Lambda }$$ を$${\Lambda \left( \varphi \right)=\varphi {{\left| \left( X \right) \right.}_{1}}}$$ と定義する。ここで$${\varphi {{\left| \left( X \right) \right.}_{1}}}$$は$${\varphi }$$ の$${{{\left( X \right)}_{1}}}$$への制限である。$${\Lambda {{\varphi }_{1}}=\Lambda {{\varphi }_{2}}}$$ とすると、$${{{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}}\in {{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}}}$$ で$${{{\left( X \right)}_{1}}}$$上で$${{{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}}$$ であるから、$${\Lambda }$$ は単射である。次は必要十分条件である。
ネット$${{{\left\{ {{\varphi }_{\alpha }} \right\}}_{\alpha \in A}}}$$が$${{{X}^{*}}}$$において$${\varphi }$$ に$${{{w}^{*}}}$$ トポロジで収束する
$${\Leftrightarrow }$$
$${f\in X}$$について
$${\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,{{\varphi }_{\alpha }}\left( f \right)=\varphi \left( f \right)}$$ が成立する
$${\Leftrightarrow }$$
$${f\in {{\left( X \right)}_{1}}}$$ について
$${\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,{{\varphi }_{\alpha }}\left( f \right)=\varphi \left( f \right)}$$ が成立する
$${\Leftrightarrow }$$
$${f\in {{\left( X \right)}_{1}}}$$について
$${\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,\Lambda \left( {{\varphi }_{\alpha }} \right)\left( f \right)=\Lambda \left( \varphi \right)\left( f \right)}$$ が成立する
$${\Leftrightarrow }$$
$${\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,\Lambda \left( {{\varphi }_{\alpha }} \right)=\Lambda \left( \varphi \right)}$$が$${\mathbf{P}}$$のトポロジで成立する。
結局、$${\Lambda }$$ が$${{{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}}}$$と$${\mathbf{P}}$$の部分集合$${\Lambda \left[ {{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}} \right]}$$の間の同相写像（one-to-oneでbi-contiuous）を与えることがわかる。そこで、$${\Lambda \left[ {{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}} \right]}$$が$${\mathbf{P}}$$で閉じていることを示せば$${\Lambda \left[ {{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}} \right]}$$もコンパクトになり、証明が完結する。
ここから先は$${\mathbf{P}}$$上で考える。$${{{\left\{ \Lambda \left( {{\varphi }_{\alpha }} \right) \right\}}_{\alpha \in A}}}$$を$${\psi \in \mathbf{P}}$$に収束する$${\Lambda \left[ {{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}} \right]}$$におけるネットとする。$${\psi \in \Lambda \left[ {{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}} \right]}$$をいえば良い。
$${f,g,f+g\in {{\left( X \right)}_{1}}}$$ であるとき、
$${\psi \left( f+g \right)=\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,\Lambda \left( {{\varphi }_{\alpha }} \right)\left( f+g \right)}$$
$${=\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,\Lambda \left( {{\varphi }_{\alpha }} \right)\left( f \right)+\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,\Lambda \left( {{\varphi }_{\alpha }} \right)\left( g \right)}$$
$${=\psi \left( f \right)+\psi \left( g \right)}$$

$${f,\lambda f\in {{\left( X \right)}_{1}}}$$ であるとき、
$${\psi \left( \lambda f \right)=\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,\Lambda \left( {{\varphi }_{\alpha }} \right)\left( \lambda f \right)}$$
$${=\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,{{\varphi }_{\alpha }}\left( \lambda f \right)=\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,\lambda {{\varphi }_{\alpha }}\left( f \right)}$$
$${=\lambda \psi \left( f \right)}$$。
ここで、$${f\in X}$$ に対して
$${\hat{\psi }\left( f \right)=\left\| f \right\|\psi \left( f/\left\| f \right\| \right)}$$とおくと、
$${\hat{\psi }\in {{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}}}$$ である。
そして、$${f\in {{\left( X \right)}_{1}}}$$では$${\hat{\psi }\left( f \right)=\psi \left( f \right)}$$である。つまり、$${\Lambda \left( {\hat{\psi }} \right)=\psi }$$ 。
$${\psi \in \Lambda \left[ {{\left( {{X}^{*}} \right)}_{1}} \right]}$$となった。おわり。

 ここで weakトポロジとweak*トポロジの違いをみておく。
(a) $${\varphi }$$にweakトポロジで収束する
$${\Leftrightarrow }$$
$${f\in {{X}^{**}}}$$ について
$${\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,{{\varphi }_{\alpha }}\left( f \right)=\varphi \left( f \right)}$$ が成立する
 
（ｂ）$${\varphi }$$ に$${{{w}^{*}}}$$ トポロジで収束する
$${\Leftrightarrow }$$
$${f\in X}$$ について
$${\underset{\alpha \in A}{\mathop{\lim }}\,{{\varphi }_{\alpha }}\left( f \right)=\varphi \left( f \right)}$$ が成立する
 
(a)と(b)において、条件が$${f\in {{X}^{**}}}$$と$${f\in X}$$が異なっている。一般には、$${X\subset {{X}^{**}}}$$であるので違いがあるが、反射的reflexiveのときは$${X={{X}^{**}}}$$とみなせるので。weakトポロジとweak*トポロジの区別はなくなる。