ブラウン運動の作り方

ブラウン運動の作り方
 
確率空間$${\left( \Omega ,\mathcal{F},P \right)}$$ 上で定義された$${t}$$ について連続なガウス過程$${{{X}_{t}}=X\left( t,\omega \right)}$$で$${E{{X}_{t}}=0}$$,$${E{{X}_{t}}{{X}_{s}}=\min \left\{ s,t \right\}}$$を満たすものをつくりたい。$${t}$$ は時間、
$${EX=\int\limits_{\Omega }{X\left( \omega \right)}P\left( d\omega \right)}$$は期待値である。
Nobert Wienert,Payley,Zygmundなど昔の人は確率変数を係数とするフーリエ級数を用いて実現した。それは、ブラウン運動の別名がウイナー過程と呼ばれている理由かもしれない。
$${t\in \left[ 0,1 \right]}$$ に対して
$${{{X}_{t}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\xi }_{n}}{{g}_{n}}\left( t \right)}}$$
とおく。ここで、$${\left\{ {{\xi }_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }}$$ はi.i.d.
(independent identically distributed random variables)
$${{{\xi }_{n}}\sim N\left( 0,1 \right)}$$ 標準正規分布に従う、
$${\left\{ {{f}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }}$$ は$${{{L}^{2}}\left[ 0,1 \right]}$$ における正規直交系とする。
$${{{g}_{n}}\left( t \right)=\int\limits_{0}^{t}{{{f}_{n}}\left( s \right)ds}}$$
とおく。つまり、$${{{X}_{t}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\xi }_{n}}{{g}_{n}}\left( t \right)}}$$の微分が直交展開
$${{{\dot{X}}_{t}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\xi }_{n}}{{f}_{n}}\left( t \right)}}$$
となるようにする。
$${E{{X}_{t}}{{X}_{s}}=\min \left\{ s,t \right\}}$$
としたから、これを$${t}$$ で微分すると
$${E{{\dot{X}}_{t}}{{X}_{s}}=1\,(s>t);=0\,\,(s< t)}$$
つまりヘビサイド関数を$${s}$$ だけずらした関数である。
さらにこれを$${s}$$ で微分すると
$${E{{\dot{X}}_{t}}{{\dot{X}}_{s}}={{\delta }_{s}}(t)}$$
とデルタ関数があらわれる。微分については超関数の意味でしか定義できない。
$${{{\xi }_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{{{\dot{X}}}_{t}}}{{f}_{n}}\left( t \right)dt}$$ であるから
$${E{{\xi }_{n}}{{\xi }_{m}}=\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{E{{{\dot{X}}}_{t}}{{{\dot{X}}}_{s}}{{f}_{n}}\left( t \right)}{{f}_{m}}\left( s \right)dtds}}$$
上の結果を用いて
$${E{{\xi }_{n}}{{\xi }_{m}}=\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{{{\delta }_{s}}\left( t \right){{f}_{n}}\left( t \right)}{{f}_{m}}\left( s \right)dtds}}$$$${=\int\limits_{0}^{1}{{{f}_{n}}\left( t \right)}{{f}_{m}}\left( t \right)dt={{\delta }_{n-m}}}$$
より、標準正規分布にしたがう$${\left\{ {{\xi }_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }}$$はたがいに独立な確率変数列でなければならない。
$${{{f}_{0}}\left( t \right)=1}$$,$${{{f}_{n}}\left( t \right)=\sqrt{2}\cos \pi nt}$$
とおく。
$${\int\limits_{0}^{1}{{{\left| {{f}_{n}}\left( t \right) \right|}^{2}}dt}=2\int\limits_{0}^{1}{{{\cos }^{2}}\pi nt}dt=1}$$
$${\int\limits_{0}^{1}{{{f}_{n}}\left( t \right){{f}_{m}}\left( t \right)dt}=2\int\limits_{0}^{1}{\cos \pi nt}\cos m\pi dt=0}$$（$${m\ne n}$$ ）
であるから、これらは$${L^2[0,1]}$$において正規直交系をなしている。
$${{{g}_{n}}\left( t \right)=\int\limits_{0}^{t}{{{f}_{n}}\left( s \right)ds}=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{t}{\cos \pi nsds}=\frac{\sqrt{2}\sin \pi nt}{\pi n}}$$
これらを用いてブラウン運動$${{{B}_{t}}}$$を以下のように構成する。
$${t\in \left[ 0,1 \right]}$$ 、独立な確率変数の列$${\left\{ {{\xi }_{n}} \right\}_{n=1}^{\infty }}$$にたいして
$${{{B}_{t}}={{\xi }_{0}}t+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\xi }_{n}}\frac{\sqrt{2}\sin \pi nt}{\pi n}}}$$
とおく。ここで、$${{{\xi }_{n}}}$$ は正規分布$${N\left( 0,1 \right)}$$に従い $${E{{\xi }_{n}}{{\xi }_{m}}={{\delta }_{n-m}}}$$ とする。
.
命題）$${{{B}_{t}}}$$は$${t\in \left[ 0,1 \right]}$$上ほとんど確実に連続関数である。
 
補題$${p>1}$$に対して、$${c\left( p \right)}$$が存在して
任意の$${Q\left( t \right)=\sum\limits_{n=-N}^{N}{{{a}_{n}}{{e}^{i\pi nt}}}}$$に対して、
$${\underset{-1\le t\le 1}{\mathop{\max }}\,\left| Q\left( t \right) \right|\le c\left( p \right){{N}^{\frac{1}{p}}}{{\left( \int\limits_{-1}^{1}{{{\left| Q\left( t \right) \right|}^{p}}dt} \right)}^{\frac{1}{p}}}}$$
が成り立つ。
 
命題の証明）
$${{{Q}_{n}}\left( t \right)=\sum\limits_{k={{2}^{n-1}}}^{{{2}^{n}}-1}{{{\xi }_{k}}\frac{\sin \pi kt}{k}}}$$ とおく。
$${E\left\| {{Q}_{n}} \right\|_{4}^{4}=E\int\limits_{-1}^{1}{{{\left| {{Q}_{n}}\left( t \right) \right|}^{4}}dt}}$$$${={{\sum\limits_{j,k={{2}^{n-1}}}^{{{2}^{n}}-1}{E\xi _{j}^{2}\xi _{k}^{2}\int_{-1}^{1}{\left( \frac{\sin k\pi t}{k} \right)}}}^{2}}dt{{\int\limits_{-1}^{1}{\left( \frac{\sin j\pi t}{j} \right)}}^{2}}dt}$$
 $${\le c{{2}^{2n}}{{2}^{-4n}}=c{{2}^{-2n}}}$$
（$${{E\xi _{j}^{2}\xi _{k}^{2}}\le 1}$$、$${{E\xi _{j}^{3}\xi _{k}}=0 (j \ne k)}$$を用いた）。 したがって
$${E{{\left\| {{Q}_{n}} \right\|}_{4}}\le c{{2}^{-\frac{n}{2}}}}$$
(cは定数であるが、出てくる場所ごとに異なったものを簡単のため同じcという記号を流用する）
補題を使って
$${{E{\left\| {{Q}_{n}} \right\|}_{\infty }}\le c{E{\left\| {{Q}_{n}} \right\|}_{4}}{{\left( {{2}^{n}} \right)}^{\frac{1}{4}}}\le c{{2}^{-\frac{n}{4}}}}$$
チェビシェフの不等式より
$${P\left( {{\left\| {{Q}_{n}} \right\|}_{\infty }}\ge {{2}^{-\frac{n}{8}}} \right)\le c{{2}^{-\frac{n}{8}}}}$$
Borel-Cantelliにより$${P\left( {{\left\| {{Q}_{n}} \right\|}_{\infty }} < {{2}^{-\frac{n}{8}}},n\ge {{n}_{0}} \right)=1}$$
$${{{Q}_{n}}}$$は連続関数でその和は一様収束するので
$${{{B}_{t}}={{\xi }_{0}}t+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\sqrt{2}}{\pi }}{{Q}_{n}}\left( t \right)}$$
はほとんど確実に連続関数となる。
 
 
補題の証明
$${{{\mathcal{D}}_{N}}\left( t \right)=\sum\limits_{n=-N}^{N}{{{e}^{\operatorname{int}}}}=\frac{\sin \pi \left( N+\frac{1}{2} \right)t}{\sin \frac{\pi t}{2}}}$$
$${Q\left( t \right)=\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{{{\mathcal{D}}_{N}}\left( t-s \right)Q\left( s \right)ds}}$$
$${\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$$なる$${q}$$に対して
$${{{\left\| {{Q}_{n}} \right\|}_{\infty }}\le c{{\left\| Q \right\|}_{p}}{{\left\| {{\mathcal{D}}_{N}} \right\|}_{q}}}$$
他方
$${\left\| {{\mathcal{D}}_{N}} \right\|_{q}^{q}=\int\limits_{-1}^{1}{{{\left| \frac{\sin \pi \left( N+\frac{1}{2} \right)t}{\sin \frac{\pi t}{2}} \right|}^{q}}dt}}$$$${\le c\left( p \right)\int\limits_{-1}^{1}{{{\left| \frac{\sin \pi \left( N+\frac{1}{2} \right)t}{t} \right|}^{q}}dt}}$$$${\le c\left( p \right){{\left( N+\frac{1}{2} \right)}^{q-1}}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| \frac{\sin \pi t}{t} \right|}^{q}}dt}}$$$${\le c\left( p \right){{\left( N+\frac{1}{2} \right)}^{q-1}}}$$
ゆえに
$${{{\left\| {{Q}_{N}} \right\|}_{q}}\le c\left( p \right){{N}^{\frac{q-1}{q}}}=c\left( p \right){{N}^{\frac{1}{p}}}}$$
 
もうひとつ$${E{{B}_{t}}{{B}_{s}}=\min \left( t,s \right)}$$ の証明が残っている。
$${{{B}_{t}}={{\xi }_{0}}t+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\xi }_{n}}\frac{\sqrt{2}\sin \pi nt}{\pi n}}}$$,
$${{{B}_{s}}={{\xi }_{0}}s+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\xi }_{n}}\frac{\sqrt{2}\sin \pi ns}{\pi n}}}$$
を掛け算して期待値を取ると 
$${E{{B}_{t}}{{B}_{s}}=E\left({{\xi }_{0}} t+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\xi }_{n}}\frac{\sin \pi nt}{\pi n}} \right)\left( {{\xi }_{0}}s+\sum\limits_{m=1}^{\infty }{{{\xi }_{m}}\frac{\sin \pi mt}{\pi n}} \right)}$$$${=ts+2\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin \pi nt\sin \pi ns}{{{\left( \pi n \right)}^{2}}}}}$$
となることがわかるが、これが$${\min \left( t,s \right)}$$ であることをいわなければならない。そこでこれが$${\min \left( t,s \right)}$$のFourier級数展開になっていることを確かめよう。
Fourie級数展開を計算するのに$${\left[ 0,1 \right]}$$の関数$${\varphi \left( t \right)}$$ を$${\left[ -1,1 \right]}$$に奇関数となるように延長する。 $${\left[ -1,1 \right]}$$うえの正規直交系は$${{{f}_{0}}\left( t \right)=1}$$ ,$${{{f}_{n}}\left( t \right)=\sqrt{2}\cos \pi nt}$$のほかに$${\sqrt{2}\sin m\pi t}$$$${m=1,2,\cdots }$$ を追加しなければならない。
そして、
 $${\varphi \left( t \right)\sim \frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}\cos \pi nt+}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}\cos \pi nt}}$$
$${{{a}_{n}}=\int\limits_{-1}^{1}{\varphi \left( t \right)\cos \pi ntdt}}$$
$${{{b}_{n}}=\int\limits_{-1}^{1}{\varphi \left( t \right)\sin \pi ntdt}}$$
$${\varphi \left( t \right)}$$が奇関数より
$${{{a}_{n}}=\int\limits_{-1}^{1}{\varphi \left( t \right)\cos \pi ntdt}=0}$$,
$${{{b}_{n}}=2\int\limits_{0}^{1}{\varphi \left( t \right)\sin \pi ntdt}}$$
となる、$${\varphi \left( t \right)=\min \left( t,s \right)}$$ とおくと
$${{{b}_{n}}=2\int\limits_{0}^{1}{\min \left( s,t \right)\sin \pi ntdt}}$$$${=2\int\limits_{0}^{t}{t\sin \pi ntdt}+2s\int\limits_{s}^{1}{\sin \pi ntdt}}$$$${=\frac{2\sin \pi ns}{{{\left( \pi n \right)}^{2}}}-\frac{2s\cos \pi n}{\pi n}}$$
したがって
$${\min \left( s,t \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{2\sin \pi ns}{{{\left( \pi n \right)}^{2}}}-s}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{2\cos \pi n}{\pi n}\sin \pi nt}}$$（＊＊）
がえられる。
他方
$${\varphi \left( t \right)=t}$$
とした場合のFourier級数を計算すると
$${{{b}_{n}}=2\int\limits_{0}^{1}{t\sin \pi ntdt}=-\left[ \frac{2t\cos \pi nx}{\pi n} \right]_{0}^{1}-\frac{2}{\pi n}\int\limits_{0}^{1}{\cos \pi ntdt}}$$$${=-\frac{2\cos \pi nt}{\pi n}}$$
となり、
$${t=-\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{2\cos \pi n}{\pi n}\sin \pi nt}}$$
を得る。（＊＊）と比較してみると
$${\min \left( s,t \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{2\sin \pi ns}{{{\left( \pi n \right)}^{2}}}+s}t}$$
となり、これで証明がおわる。
 
上で構成したブラウン運動の定義域を$${\left[ 0,1 \right]}$$から$${\left[ 0,\infty\right)}$$ へひろげるには、$${\left[ 0,1 \right]}$$上のブラウン運動のコピーを無限個つくり、これらをつなぎ合わせて作る。