Hadamard　の間隙定理

Hadamard　の間隙定理
 
$${z\in \mathbb{C}}$$とする。べき級数
$${1+z+{{z}^{2}}+{{z}^{3}}+\cdots }$$
は$${\left| z \right|<1}$$ で$${\frac{1}{1-z}}$$に収束する（絶対収束）。収束半径を計算してみると$${1}$$である。
$${1+{{z}^{2}}+{{z}^{{{2}^{2}}}}+{{z}^{{{2}^{3}}}}+\cdots }$$
も$${\left| z \right|<1}$$で絶対収束で収束半径は１である。
$${1+\left| {{z}^{2}} \right|+\left| {{z}^{{{2}^{2}}}} \right|+\left| {{z}^{{{2}^{3}}}} \right|+\cdots <1+\left| {{z}^{2}} \right|+\left| {{z}^{3}} \right|+\left| {{z}^{{{2}^{3}}}} \right|+\cdots }$$
をみれば、左辺は右辺の部分和になっていることからわかる。いま複素数平面$${\mathbb{C}}$$において原点を中心として半径１を持つ円を$${\mathbb{D}}$$と書こう。すなわち、
$${\mathbb{D}=\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z \right|<1 \right\}}$$。円周も含めるときは$${\bar{\mathbb{D}}=\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z \right|\le 1 \right\}}$$とあらわす。
上で述べたことを繰り返すと、
$${\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{z}^{n}}}}$$ も$${\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{z}^{{{2}^{n}}}}}}$$も$${{z\in \mathbb{D}}}$$ で絶対収束である。
しかし、円の境界上$${\bar{\mathbb{D}}\backslash \mathbb{D}=\partial \mathbb{D}}$$におけるこれら関数の正則性が全く異なる。
$${F\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{z}^{{{2}^{n}}}}}}$$は$${\mathbb{D}}$$ で正則関数holomorphicであるが、境界上すべての$${z\in \partial \mathbb{D}}$$ において正則ではない。$${\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{z}^{n}}}=\frac{1}{1-z}}$$が$${z\in \partial \mathbb{D}\backslash \left\{ 1 \right\}}$$となるすべての点（$${z=1}$$を除くすべての点）で正則関数であるのとくらべ対照的である。
「$${F\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{z}^{{{2}^{n}}}}}}$$は$${\mathbb{D}}$$で正則関数holomorphicであるが、すべての$${z\in \partial \mathbb{D}}$$において正則とならない」の証明は次のようにする。$${F'\left( z \right)}$$が、すべての$${z\in \partial \mathbb{D}}$$において正則とならないことを示せばよい。
$${F'\left( rw \right)}$$, $${0< r<1}$$ ,$${{{w}^{2N}}=1}$$ を考える。
いま正の整数$${N}$$ を固定する。
$${F'\left( rw \right)=\sum\limits_{n=1}^{N-1}{{{2}^{n}}{{r}^{2n-1}}{{w}^{2n-1}}+}\sum\limits_{n=N}^{\infty }{{{2}^{n}}{{r}^{2n-1}}{{w}^{2n-1}}}}$$$${=\sum\limits_{n=1}^{N-1}{{{2}^{n}}{{r}^{2n-1}}{{w}^{2n-1}}+}\frac{1}{w}\sum\limits_{n=N}^{\infty }{{{2}^{n}}{{r}^{2n-1}}}}$$
であるが、上式の最後の和 $${\frac{1}{w}\sum\limits_{n=N}^{\infty }{{{2}^{n}}{{r}^{2n-1}}}}$$は$${r\nearrow 1}$$のとき$${\infty }$$にいくから、$${\underset{r\nearrow 1}{\mathop{\lim }}\,\left| F'\left( rw \right) \right|=\infty }$$となる。$${{{w}^{2N}}=1}$$をみたす$${w}$$は円周$${\partial \mathbb{D}}$$で稠密であることから証明がおわる。
 
定理（Ostrowski-Hadamard）$${\lambda >1}$$ とする。$${0<{{p}_{1}}<{{p}_{2}}<\cdots }$$を$${\frac{{{p}_{j+1}}}{{{p}_{j}}}>\lambda }$$ ,$${j=1,2,\cdots }$$を満たす整数列とする。複素数列$${\left\{ {{a}_{j}} \right\}_{j=0}^{\infty }}$$ に対してべき級数
$${f\left( z \right)=\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{a}_{j}}{{z}^{{{p}_{j}}}}}}$$の収束半径を１と仮定する。このとき、$${\partial \mathbb{D}}$$上のいずれの点においても$${f\left( z \right)}$$が正則となることはない（$${P\in \partial \mathbb{D}}$$で$${f}$$が正則であるという意味は、$${P}$$ を中心とする十分小さな円内の各点で$${f}$$のテーラー展開ができているという意味で、$${P}$$の近くでは$${\bar{\mathbb{D}}}$$から外に少しだけはみ出したところでも正則になっていることを意味する）
 
証明）背理法を使う。$${P\in \partial \mathbb{D}}$$で$${f\left( z \right)=\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{a}_{j}}{{z}^{{{p}_{j}}}}}}$$が正則であると仮定する。一般性を失うことなく$${P=1}$$とする（円を回転して座標をあらたにとりなおせばよい）。中心が１で半径が$${\varepsilon }$$ の円$${{{\mathbb{D}}_{\varepsilon }}}$$ があって、$${U=\mathbb{D}\cup {{\mathbb{D}}_{\varepsilon }}}$$ で正則な関数$${F}$$（つまり$${P=１}$$をとおって$${f}$$ の直接解析接続となるもの）があって、$${{{\left. F \right|}_{\mathbb{D}\cap {{\mathbb{D}}_{\varepsilon }}}}={{\left. f \right|}_{\mathbb{D}\cap {{\mathbb{D}}_{\varepsilon }}}}}$$ となる。いま、$${k}$$を十分大きくしてやれば$${\frac{k+1}{k}<\lambda }$$を満たすような整数$${k>0}$$をえらぶことができる。この$${k}$$を使って$${\psi \left( z \right)=\frac{{{z}^{k}}+{{z}^{k+1}}}{2}}$$ とおく。$${z=r{{e}^{i\theta }}=r\cos \theta +i\sin \theta }$$,$${0 < r\le 1}$$において、$${z\ne 1}$$ とするなら$${{{\left| z+1 \right|}^{2}}={{\left( 1+r\cos \theta \right)}^{2}}+{{\left( r\sin \theta \right)}^{2}}<4}$$がなりたつ。すなわち、$${\left| z \right|\le 1}$$だが$${z\ne 1}$$の時
$${\left| \psi \left( z \right) \right|=\left| \frac{{{z}^{k}}+{{z}^{k+1}}}{2} \right|=\frac{\left| {{z}^{k}} \right|}{2}\left| z+1 \right|<１}$$が成り立つ。これは$${\psi \left( {\bar{\mathbb{D}}} \right)\subset U}$$を意味している。コンパクト集合$${\psi \left( {\bar{\mathbb{D}}} \right)}$$が開集合$${U}$$ に含まれるので、単位円$${\mathbb{D}}$$をすこし膨らませて$${\left( 1+\delta \right)\mathbb{D}}$$を中心が０で半径が$${1+\delta }$$として、$${\delta >0}$$が十分小さければ、$${\psi \left( \left( 1+\delta \right)\mathbb{D} \right)\subset U}$$とできる。とくに$${P=1\in \psi \left( \left( 1+\delta \right)\mathbb{D} \right)}$$である。$${z\in \left( 1+\delta \right)\mathbb{D}}$$に対して
$${G\left( z \right)=F\left( \psi \left( z \right) \right)}$$と定義する。そして、$${G\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{c}_{n}}{{z}^{n}}}}$$をそのテーラー展開とする。他方、$${z\in \mathbb{D}}$$では$${F=f}$$であったから、
$${\left( F\circ \psi \right)\left( z \right)=\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{a}_{j}}{{\left( \frac{{{z}^{k}}}{2}+\frac{{{z}^{k+1}}}{2} \right)}^{{{p}_{j}}}}}}$$ $${=\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{a}_{j}}{{\left( \frac{{{z}^{k}}}{2} \right)}^{{{p}_{j}}}}}{{\left( 1+z \right)}^{{{p}_{j}}}}}$$
と書ける。この式で、
$${{{a}_{j}}}$$が現れる項のべきは
$${{{z}^{k{{p}_{j}}}}}$$から$${{{z}^{\left( k+1 \right){{p}_{j}}}}}$$であり、
$${{{a}_{j+1}}}$$が現れる項のべきは
$${{{z}^{k{{p}_{j+1}}}}}$$ から$${{{z}^{\left( k+1 \right){{p}_{j+1}}}}}$$である。
$${\frac{k+1}{k}<\lambda }$$の条件から、
$${\left( k+1 \right){{p}_{j}}< k {{p}_{j+1}} }$$
の関係が導かれるから
$${G\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{c}_{n}}{{z}^{n}}}}$$
と
$${\left( F\circ \psi \right)\left( z \right)=\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{a}_{j}}{{\left( \psi \left( z \right) \right)}^{{{p}_{j}}}}}}$$
とを比較してやると、
$${\sum\limits_{j=0}^{N}{{{a}_{j}}{{\left( \psi \left( z \right) \right)}^{{{p}_{j}}}}=\sum\limits_{l=0}^{\left( k+1 \right){{p}_{N}}}{{{c}_{l}}{{z}^{l}}}}}$$
が導かれるが、$${G(z)}$$の正則性から$${z\in \left( 1+\delta \right)\mathbb{D}}$$ で$${N\to \infty }$$とすると右辺は収束する。したがって
$${w=\psi \left( z \right)}$$とおけば、$${w\in \psi \left( \left( 1+\delta \right)\mathbb{D} \right)}$$であるから、$${f\left( z \right)=\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{a}_{j}}{{w}^{{{p}_{j}}}}}}$$が$${P=1}$$を含む開集合$${\psi \left( \left( 1+\delta \right)\mathbb{D} \right)}$$で正則である。そして$${P}$$は円周上の任意の点。これは$${f\left( z \right)=\sum\limits_{j=1}^{\infty }{{{a}_{j}}{{z}^{{{p}_{j}}}}}}$$ の収束半径を１と仮定したことと矛盾してしまう。証明おわり。
 
$${\frac{{{p}_{j+1}}}{{{p}_{j}}}>\lambda }$$
はHadamardのgap condition(間隙条件)とよばれ、
J.Hadamard　, Essais sur l’etudedes fonctions donne par leur development de Taylor, Journ.Math.8,101-189(1892)
で与えられた。その後、
E.Fabry, Sur les series de Taylor qui ont une infinite de points singuliers,Acta Math.22,65-87（1898-99）
において、Hadamardの条件は
$${\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{k}{{{p}_{k}}}=\infty }$$
という条件にゆるめられた。また、
G.Polya,On converse gap theorems, Trans.Amer.Math.Soc.52,65-71（1942）
においてFabryの条件がこの問題に対して適切なものであることを示した。さらに、
P.Erdos,,Note on the converse of Fabry’s gap theorem,Trans.Amer.Math.Soc.57,102-104(1945)
はPolya の別証明をあたえている。

古典的な用語では、開集合$${U}$$上で正則な関数$${f}$$が$${U}$$を含むより大きな領域での正則関数に解析接続できないとき、$${\partial U}$$は$${f}$$の”自然境界”と呼ばれる。間隙級数は$${U}$$が円である場合を与えている。