Vitali の被覆定理
Vitali の生涯についておしえて
🗒️ Answer
ジュゼッペ・ヴィターリ (Giuseppe Vitali, 1875年 - 1932年) は、イタリアの数学者であり、特に解析学と測度論において重要な業績を残しました。彼の業績の中でも最も有名なのは「ヴィターリ集合」と呼ばれる集合の発見です。ヴィターリ集合は、実数の集合に対するルベーグ可測性の限界を示すものであり、数学における非可測集合の概念を明確にするのに貢献しました。
ヴィターリはイタリアのラヴェンナで生まれ、ボローニャ大学で学び、後に母校で教鞭を取りました。彼の研究は、当時の数学者たちに大きな影響を与え、測度論や関数解析の発展に寄与しました。特に、「ヴィターリの被覆定理」も彼の重要な業績で、これは測度論や実解析の基礎的な結果として現代でも使われています。
ヴィターリは1932年に他界しましたが、彼の業績は現代数学においても重要な位置を占めています。
Vitali の被覆定理
単調関数はほとんどいたるところで微分可能というルベッグの有名な定理がある。Vitaliの被覆定理はこれを証明する道具として利用される。
Vitali 被覆とは何：
$${\lambda }$$ をルベッグ測度とする。区間$${\left[ c,d \right]}$$のルベッグ測度はその長さで与えられる。すなわち$${\lambda \left( \left[ c,d \right] \right)=d-c}$$
定義：$${E\subset \mathbb{R}}$$とする。$${\mathbb{R}}$$ における正の長さをもつ閉区間の族$${\mathcal{V}}$$ は、次の性質を持つとき、$${E}$$ のVitali被覆と呼ばれる。各$${x\in E}$$ と任意の$${\varepsilon >0}$$ に対して、$${x\in I}$$ で$${\lambda \left( I \right)<\varepsilon }$$ となる$${I\in \mathcal{V}}$$ が存在する。
すなわち、$${E}$$ の各点は、$${\mathcal{V}}$$に属するいくらでも短い区間に含まれる。
つぎ述べるVitaliの被覆定理の証明は S.Banach Fund Mat.6,170-188（１９２４）によるものだが途中で5倍という謎のものがでてくる。
簡単なことだが、ちょっとした小技に注目しよう。
$${I\cap {{I}_{N}}\ne \phi }$$,$${\lambda \left( I \right)\le 2\lambda \left( {{I}_{N}} \right)}$$から$${I\subset {{J}_{N}}}$$が導かれる❤ （本文では$${N}$$のかわりに$${q}$$とおいた。）
定理：Vitaliの被覆定理
$${E\subset \mathbb{R}}$$を任意に選んだ部分集合とし、閉区間の族$${\mathcal{V}}$$ を$${E}$$ のVitali被覆とする。このとき、互いに排反である可算個の族$${\left\{ {{I}_{k}} \right\}\subset \mathcal{V}}$$ で
$${\lambda \left( E\backslash {{\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }{{{I}_{k}}} \right)}} \right)=0}$$ （$${A'=E\backslash A}$$ ）
となるものが存在する。
さらに、$${\lambda \left( E \right)<\infty }$$ のときは、任意の$${\varepsilon >0}$$に対して、たがいに排反な有限個集合の族$${\left\{ {{I}_{1}},{{I}_{2}},\cdots ,{{I}_{p}} \right\}\subset \mathcal{V}}$$ がとれて、$${\lambda \left( E\backslash {{\left( \bigcup\limits_{k=1}^{p}{{{I}_{k}}} \right)}} \right)<\varepsilon }$$とできる。
証明）場合１：$${\lambda \left( E \right)<\infty }$$のときと
場合２：$${\lambda \left( E \right)=\infty }$$
のときの2段階にわけて証明する。
場合１：$${\lambda \left( E \right)<\infty }$$のとき。$${E\subset V}$$ で$${\lambda \left( V \right)<\infty }$$となる開集合$${V}$$ をえらぶ。
$${{{\mathcal{V}}_{0}}=\left\{ I\in \mathcal{V}:I\subset V \right\}}$$ とする。あきらかに、$${{{\mathcal{V}}_{0}}}$$ は$${E}$$ のVitali被覆になっている。ある
$${{{I}_{1}}\in {{\mathcal{V}}_{0}}}$$があり、$${E\subset {{I}_{1}}}$$ であるなら証明はおわる。$${n}$$ に関する帰納的をつかおう。すなわち、$${{{I}_{1}},{{I}_{2}},\cdots ,{{I}_{n}}}$$がえらばれておりこれらは排反とする。もし、
$${E\subset \bigcup\limits_{k=1}^{n}{{{I}_{k}}}}$$であれば$${\lambda \left( E\backslash {{\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}{{{I}_{k}}} \right)}} \right)=0}$$となり証明はおわる。
$${E\not\subset \bigcup\limits_{k=1}^{n}{{{I}_{k}}}={{A}_{n}}}$$,
$${{{U}_{n}}=V\backslash A_{n}}$$ とおくと$${{{A}_{n}}}$$は閉集合、$${{{U}_{n}}}$$ は開集合。$${E}$$ は$${{{A}_{n}}}$$ に属さない点を含むので、$${{{U}_{n}}\cap E\ne \phi }$$である。そこで、
$${{{\delta }_{n}}=\sup \left\{ \lambda \left( I \right):I\in {{\mathcal{V}}_{0}},I\subset {{U}_{n}} \right\}}$$
とおく。ここで新たに$${{{I}_{n+1}}\in {{\mathcal{V}}_{0}}}$$ で$${\lambda \left( {{I}_{n+1}} \right)>\frac{1}{2}{{\delta }_{n}}}$$ となるものを選ぶ（上限の定義より、$${{{\delta }_{n}}}$$ より真に長さが長い$${{{I}_{n+1}}}$$ が存在しているはず）。$${n}$$に関する帰納的命題が有限ステップで$${E\subset \bigcup\limits_{k=1}^{n}{{{I}_{k}}}}$$となっていれば証明終わりとすでに言った。有限スッテプでは終わらないなら、$${\left\{ {{I}_{k}} \right\}_{k=1}^{\infty }\subset {{\mathcal{V}}_{0}}}$$ となる排反な閉区間の無限列がとれていることになる。$${A=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }{{{I}_{k}}}}$$とおく。証明すべきは、$${\lambda \left( E\backslash A \right)=0}$$ である。各$${k}$$について、$${{{I}_{k}}}$$ と同じ中点をもつ閉区間$${{{J}_{k}}}$$ で$${\lambda \left( {{J}_{k}} \right)=5\lambda \left( {{I}_{k}} \right)}$$ となるものをとる。そうすると、
$${\lambda \left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }{{{J}_{k}}} \right)\le \sum\limits_{k=1}^{\infty }{\lambda \left( {{J}_{k}} \right)}=5\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\lambda \left( {{I}_{k}} \right)}}$$$${=5\lambda \left( A \right)\le 5\lambda \left( V \right)<\infty }$$
となる。$${\bigcup\limits_{n=p}^{\infty }{{{J}_{n}}}\supset \bigcup\limits_{n=p+1}^{\infty }{{{J}_{n}}}\supset \bigcup\limits_{n=p+2}^{\infty }{{{J}_{n}}}\cdots }$$と続く$${p}$$ についての減少列は、$${\underset{p\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\lambda \left( \bigcup\limits_{n=p}^{\infty }{{{J}_{n}}} \right)=0}$$を満たす。そこで、$${\lambda \left( E\backslash A \right)=0}$$を示すには、$${E\backslash A\subset \bigcup\limits_{k=p}^{\infty }{{{J}_{k}}}}$$ がすべての$${p\in \mathbb{N}}$$で成り立つことを示せば十分である。$${p\in \mathbb{N}}$$を一つ固定する。$${x\in E\backslash A}$$とする。$${A'\subset A_{p}^{'}}$$ $${（\bigcup\limits_{k=1}^{n}{{{I}_{k}}}={{A}_{n}})}$$であるから
$${E\backslash A\subset V\backslash A_{p}={U}_{p}}$$
したがって$${x\in E\backslash A}$$より$${x\in {{U}_{p}}}$$でなければならない。$${{{\mathcal{V}}_{0}}}$$は$${E}$$ のVitali被覆であるから、
$${I\in {{\mathcal{V}}_{0}}}$$ で$${x\in I\subset {{U}_{p}}}$$ となるものが取れる。上で示した不等式$${5\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\lambda \left( {{I}_{k}} \right)}\le 5\lambda \left( V \right)<\infty }$$より、$${k\to \infty }$$ のとき$${\lambda \left( {{I}_{k}} \right)\to 0}$$ である。したがって$${\lambda \left( {{I}_{n+1}} \right)>\frac{1}{2}{{\delta }_{n}}}$$より$${{{\delta }_{n}}\to 0}$$ つまり、十分大きい自然数$${n}$$をとれば、$${{{\delta }_{n}}<\lambda \left( I \right)}$$ となるようにできる。このことから
$${{{\delta }_{n}}=\sup \left\{ \lambda \left( I \right):I\in {{\mathcal{V}}_{0}},I\subset {{U}_{n}} \right\}}$$
をみると、$${I\not\subset {{U}_{n}}}$$でなければならないことがわかる。そこでそのような自然数$${n}$$ のなかで最小のものを$${q}$$とする。$${x\in {{U}_{p}}}$$であったから$${p< q}$$である。最小性から、
$${I\cap {{A}_{q}}\ne \phi }$$ ,$${I\cap {{A}_{q-1}}=\phi }$$
となっている。これは、$${I\cap {{I}_{q}}\ne \phi }$$を意味している。そして、$${I\subset {{U}_{q-1}}}$$であるから、ふたたび$${{{\delta }_{n}}}$$の定義をみると、$${\lambda \left( I \right)<{{\delta }_{q-1}}\le 2\lambda \left( {{I}_{q}} \right)}$$ となるはず。$${{{I}_{q}}}$$ と同じ中点をもつ閉区間$${{{J}_{q}}}$$を $${\lambda \left( {{J}_{q}} \right)=5\lambda \left( {{I}_{q}} \right)}$$ としていたので、すでに得た閉区間$${I}$$ と閉区間$${{{I}_{q}}}$$ の2つの関係式
$${I\cap {{I}_{q}}\ne \phi }$$,$${\lambda \left( I \right)\le 2\lambda \left( {{I}_{q}} \right)}$$を考え合わせると$${I\subset {{J}_{q}}}$$がいえる（５倍にした理由がわかるだろう❤）。これから、$${I\subset \bigcup\limits_{k=p}^{\infty }{{{J}_{k}}}}$$ となって
$${x\in \bigcup\limits_{k=p}^{\infty }{{{J}_{k}}}}$$がわかる。したがって$${E\backslash A\subset \bigcup\limits_{k=p}^{\infty }{{{J}_{k}}}}$$がすべての$${p\in \mathbb{N}}$$でなりたち$${\lambda \left( E\backslash A \right)=0}$$が証明された。
つぎに、$${\varepsilon >0}$$ に対して$${p}$$ を大きく選んで$${\sum\limits_{k=p+1}^{\infty }{\left( {{I}_{k}} \right)<\varepsilon }}$$ とする。このとき、
$${E\backslash A_{p} \subset \left( E\backslash A \right)\cup \left( \bigcup\limits_{k=p+1}^{\infty }{{{I}_{k}}} \right)}$$ より
$${\lambda \left( E\backslash A_{p} \right)\le \lambda \left( E\backslash A \right)+\lambda \left( \bigcup\limits_{k=p+1}^{\infty }{{{I}_{k}}} \right)< 0+\varepsilon }$$
すなわち、$${\lambda \left( E\backslash {{\left( \bigcup\limits_{k=1}^{p}{{{I}_{k}}} \right)}} \right)<\varepsilon }$$となる。以上で$${\lambda \left( E \right)<\infty }$$のときは証明がおわった。
場合２：$${\lambda \left( E \right)=\infty }$$のとき。各$${n\in \mathbb{Z}}$$ に対して$${{{E}_{n}}=E\cap \left( n,n+1 \right)}$$ とおく。そして、$${{{\mathcal{V}}_{n}}=\left\{ I\in \mathcal{V}:I\subset \left( n,n+1 \right) \right\}}$$ とすると、$${{{\mathcal{V}}_{n}}}$$ は$${{{E}_{n}}}$$ のVitali被覆になっており
$${\lambda \left( {{E}_{n}} \right)\le 1}$$ であるから、場合１を用いると、$${n\in \mathbb{Z}}$$ について、可算個の排反な閉区間の族$${\left\{ I_{k}^{(n)} \right\}_{k=1}^{\infty }\subset {{\mathcal{V}}_{n}}}$$がとれて$${\lambda \left( {{E}_{n}}\backslash {{\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }{I_{k}^{(n)}} \right)}} \right)=0}$$となる。いま、
$${{{\mathcal{I}}_{n}}=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }{I_{k}^{(n)}}}$$
$${\mathcal{I}=\bigcup\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{\mathcal{I}}_{n}}=\bigcup\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }{I_{k}^{(n)}}}}}$$
とすると$${\mathcal{I}}$$はの排反な閉区間からなる$${\mathcal{V}}$$の可算個の族である。 そして
$${E\backslash {{\mathcal{I}}}\subset \mathbb{Z}\cup \left[ \bigcup\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\left( {{E}_{n}}\backslash {{\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }{I_{k}^{(n)}} \right)}} \right)} \right]}$$
$${\lambda \left( {{E}_{n}}\backslash {{\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }{I_{k}^{(n)}} \right)}} \right)=0}$$より、$${\lambda \left[ \bigcup\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\left( {{E}_{n}}\backslash {{\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }{I_{k}^{(n)}} \right)}} \right)} \right]=0}$$
また、$${\lambda \left( \mathbb{Z} \right)=0}$$。したがって、
$${\lambda \left( E\backslash {{\left( \bigcup\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }{I_{k}^{(n)}}} \right)}} \right)=0}$$
が得られた。証明終わり。