共役調和関数の作り方

共役調和関数の作り方
 
複素数$${z=x+iy}$$は実数の組$${x,y}$$ で成り立っている。$${x}$$ は実部、$${y}$$ は虚部と呼ばれる。
複素関数$${f\left( x+iy \right)=u\left( x,y \right)+iv\left( x,y \right)}$$ は実関数の組$${u,v}$$ で成り立っている。すなわち、$${u}$$ は$${f}$$ の実部、$${v}$$ は$${f}$$ の虚部である。
無限遠点を含まない領域$${D}$$ において、連続な$${\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}},\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}}$$ が存在して、$${D}$$の各点でLaplaceの微分方程式　$${\Delta u=\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}=0}$$を満たすとき、$${u\left( x,y \right)}$$ は$${D}$$で調和であるといわれる。
$${f\left( z \right)=u\left( z \right)+iv\left( z \right)}$$が$${D}$$ で微分可能（正則）の場合、$${f',f''}$$は$${D}$$で連続あるから、$${u\left( z \right),v\left( z \right)}$$ が2回連続微分可能であることは明らかであるが、Cauchy-Riemannの関係式
$${\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}}$$ ,$${\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}}$$
（$${{{u}_{x}}={{v}_{y}}}$$,$${{{u}_{y}}=-{{v}_{x}}}$$と略記する）
を満たすことから、$${\Delta u=0}$$、$${\Delta v=0}$$となるので、$${u\left( z \right),v\left( z \right)}$$はともに調和関数である。つまり、正則関数$${f\left( z \right)}$$ の実部、虚部は$${D}$$でともに調和関数である。また逆に、$${u\left( z \right),v\left( z \right)}$$が
$${{{u}_{x}}={{v}_{y}}}$$ ,$${{{u}_{y}}=-{{v}_{x}}}$$の関係式で結ばれるとき、$${v\left( x,y \right)}$$ は$${u\left( x,y \right)}$$の共役な調和関数と呼ばれる。$${v\left( x,y \right)}$$が$${u\left( x,y \right)}$$ の共役な調和関数ならば、定数を加えた　$${v\left( x,y \right)+c}$$　もあきらかに共役な調和関数である。
$${v\left( x,y \right)}$$ を求めるには、$${{{u}_{x}}={{v}_{y}}}$$,$${{{u}_{y}}=-{{v}_{x}}}$$を積分すればよいから、$${C}$$ を点$${\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}$$と点$${\left( x,y \right)}$$ を結ぶ曲線として、$${C}$$ 上の線積分により
$${v\left( x,y \right)=v\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+\int\limits_{C}{\left( {{v}_{x}}dx+{{v}_{y}}dy \right)}}$$ $${=v\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+\int\limits_{C}{\left( -{{u}_{y}}dx+{{u}_{x}}dy \right)}}$$
と求められる。この最後の式を見れば共役な調和関数$${v\left( x,y \right)}$$は定数項$${v\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}$$を除けば、$${u\left( x,y \right)}$$の情報$${{{u}_{x}},{{u}_{y}}}$$だけから求めることができることがわかる。
 
例１．$${u\left( x,y \right)=\operatorname{Re}\left( {{z}^{2}} \right)=\operatorname{Re}{{\left( x+iy \right)}^{2}}={{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$$
$${-{{u}_{y}}dx+{{u}_{x}}dy=2ydx+2xdy=2d\left( xy \right)}$$
を代入すると
$${v\left( x,y \right)=v\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+\int\limits_{C}{\left( -{{u}_{y}}dx+{{u}_{x}}dy \right)=}v\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+\int\limits_{C}{2d\left( xy \right)}=k+2xy}$$　（$${k}$$は任意定数）
となる。
複素関数$${f\left( x+iy \right)=u\left( x,y \right)+iv\left( x,y \right)}$$において
$${f'\left( z \right)={{u}_{x}}+i{{v}_{x}}}$$
コーシーリーマンより
$${f'\left( z \right)={{u}_{x}}-i{{u}_{y}}}$$
つまり、$${u}$$ の偏微分$${{{u}_{x}},{{u}_{y}}}$$から、$${f'}$$ができ、それを積分すれば$${f}$$ がわかり、$${\operatorname{Im}f=v}$$ として$${v}$$ が見つかる。したがって、$${u}$$に共役な調和関数を作るには、$${u}$$ の偏微分の情報から$${u}$$を実部とする 正則関数$${f}$$を求めればよいことになる。このことをさらに突き詰めて考えてみよう。
いま２つの微分作用素$${\partial /\partial z}$$ , $${\partial /\partial \bar{z}}$$を
$${\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y} \right)}$$, $${\frac{\partial }{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y} \right)}$$
により定義する。このとき、
$${\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial z}+\frac{\partial g}{\partial \bar{z}}}$$, $${\frac{\partial g}{\partial y}=i\left[ \frac{\partial g}{\partial z}-\frac{\partial g}{\partial \bar{z}} \right]}$$
と書けるし、微分形式
$${dg=\frac{\partial g}{\partial x}dx+\frac{\partial g}{\partial y}dy=\left( {{g}_{z}}+{{g}_{{\bar{z}}}} \right)dx+i\left( {{g}_{z}}-{{g}_{{\bar{z}}}} \right)dy}$$$${={{g}_{z}}\left( dx+idy \right)+{{g}_{{\bar{z}}}}\left( dx-idy \right)}$$
が導かれる。ここで、$${{{g}_{z}}}$$ と$${{{g}_{{\bar{z}}}}}$$は$${\partial g/\partial z}$$ および$${\partial g/\partial \bar{z}}$$の省略記号である。そして、
$${dx+idy=d\left( x+iy \right)=dz}$$
$${dx-idy=d\left( x-iy \right)=d\bar{z}}$$
と考えられるので、微分形式は
$${dg=\frac{\partial g}{\partial z}dz+\frac{\partial g}{\partial \bar{z}}d\bar{z}}$$
となる。以上は、座標の独立変数として$${x,y}$$ の代わりに$${z}$$,$${\bar{z}}$$をあたかも独立変数と見立てることができることを示している。
$${f\left( z \right)+\overline{f\left( z \right)}=2u\left( x,y \right)}$$ の両辺を$${z}$$ で微分すると$${\overline{f\left( z \right)}}$$ は$${z}$$ を含まない$${\bar{z}}$$ だけの関数であるから、
$${\frac{\partial }{\partial z}\overline{f\left( z \right)}=0}$$より$${f'\left( z \right)=2\frac{\partial u}{\partial z}}$$ をえる。
$${\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y} \right)}$$であったから、
$${\frac{\partial }{\partial z}u=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}u-i\frac{\partial }{\partial y}u \right)}$$となり、上で導いた $${f'\left( z \right)={{u}_{x}}-i{{u}_{y}}}$$が再び得られる。
$${f'\left( z \right)=2\frac{\partial u}{\partial z}}$$の積分をすれば
$${u\left( x,y \right)+iv\left( x,y \right)=f\left( z \right)=f\left( {{z}_{0}} \right)+2\int\limits_{{{z}_{0}}}^{z}{\frac{\partial u}{\partial z}}dz}$$
である。ここで、最後の積分は$${{{z}_{0}}}$$ と$${z}$$ を結ぶ$${D}$$ 内の任意の曲線上での線積分である。そして、共役関数$${v\left( x,y \right)}$$ は右辺の虚数部分$${\operatorname{Im}\left[ f\left( {{z}_{0}} \right)+2\int\limits_{{{z}_{0}}}^{z}{\frac{\partial u}{\partial z}}dz \right]}$$として得られる。これは任意定数 を除いて一意に定まる。しかし、ここには落とし穴がある。”$${{{z}_{0}}}$$ と$${z}$$ を結ぶ$${D}$$ 内任意の曲線上での線積分”の部分は$${D}$$ が単連結の場合はうまくいくのだが、そうでない領域$${D}$$の場合は$${{{z}_{0}}}$$ と$${z}$$ を結ぶ$${D}$$ 内の曲線に依存して異なる値が生じ、 $${f\left( z \right)}$$は 多価関数となる。たとえば、$${u\left( x,y \right)=\log r}$$ , $${{{r}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$$ を原点に穴が空いた領域$${D=\left\{ 0 < \left| z \right| < R \right\}}$$で考える場合、$${v\left(  x,y \right)=\theta +2\pi n}$$ 、$${\tan \theta =\frac{y}{x}}$$で$${n=0.\pm 1,\pm 2,\cdots }$$ と無限多価となる。
共役函数$${v\left( x,y \right)}$$を求めるのに積分$${\int\limits_{{{z}_{0}}}^{z}{\frac{\partial u}{\partial z}}dz}$$を使ったが、積分を使わない方法もある。$${2u\left( x,y \right)=f\left( z \right)+\overline{f\left( z \right)}}$$において、
$${x=\frac{z+\bar{z}}{2}}$$ , $${y=\frac{z-\bar{z}}{2i}}$$として
$${2u\left( \frac{z+\bar{z}}{2},\frac{z-\bar{z}}{2i} \right)=f\left( z \right)+\overline{f\left( z \right)}}$$とする。いま、正則関数$${{{f}^{*}}\left( z \right)=\overline{f\left( {\bar{z}} \right)}}$$ とおくと
$${2u\left( \frac{z+\bar{z}}{2},\frac{z-\bar{z}}{2i} \right)=f\left( z \right)+{{f}^{*}\left( {\bar{z}} \right)}}$$
となる。$${z,\bar{z}}$$ を独立変数とみなして別々に値を決められるとしよう。まず$${\bar{z}=0}$$として$${2u\left( \frac{z}{2},\frac{z}{2i} \right)=f\left( z \right)+{{f}^{*}}\left( 0 \right)}$$。
$${{{f}^{*}}\left( 0 \right)=\overline{f\left( 0 \right)}}$$ に注意。$${v(x,y)}$$は任意の実数定数を除いて一意に決まるのだから$${v(0,0)=0}$$という条件をつけてみると、$${f(0)=u(0,0)+iv(0,0)=u(0,0)}$$であるから実数となる。その結果、$${{{f}^{*}}\left( 0 \right)=\overline{f\left( 0 \right)}=f\left( 0 \right)}$$となっている。
そして上の式$${2u\left( \frac{z}{2},\frac{z}{2i} \right)=f\left( z \right)+{{f}^{*}}\left( 0 \right)}$$で$${z=0}$$ として$${2u\left( 0,0 \right)=f\left( 0 \right)+{{f}^{*}}\left( 0 \right)=2{{f}^{*}}\left( 0 \right)}$$、すなわち$${u\left( 0,0 \right)={{f}^{*}}\left( 0 \right)}$$をえる。従って
$${f\left( z \right)=2u\left( \frac{z}{2},\frac{z}{2i} \right)-u\left( 0,0 \right)}$$
となり、$${u}$$ のみの情報から$${f}$$ を計算できる方式を得た。例を挙げよう。
例２．$${u\left( x,y \right)={{x}^{3}}-3x{{y}^{2}}}$$
$${f\left( z \right)=2u\left( \frac{z}{2},\frac{z}{2i} \right)-u\left( 0,0 \right)}$$
$${=2\left[ {{\left( \frac{z}{2} \right)}^{3}}-3\left( \frac{z}{2} \right){{\left( \frac{z}{2i} \right)}^{2}} \right]=2\left[ \frac{{{z}^{3}}}{8}+3\frac{{{z}^{3}}}{8} \right]={{z}^{3}}}$$
したがって求める共役調和関数は
$${v\left( x,y \right)=\operatorname{Im}\left[ {{\left( x+iy \right)}^{3}} \right]=3{{x}^{2}}y-{{y}^{3}}}$$
例３．$${u\left( x,y \right)=\sin x\,\,\cosh y}$$
$${f\left( z \right)=2u\left( \frac{z}{2},\frac{z}{2i} \right)-u\left( 0,0 \right)}$$
$${=2\sin \frac{z}{2}\cosh \frac{z}{2i}}$$
ここで、 $${\cosh \frac{z}{2i}=\frac{{{e}^{-\frac{zi}{2}}}+{{e}^{\frac{zi}{2}}}}{2}=\cos z}$$であるから
$${f\left( z \right)=2\sin \frac{z}{2}\cos \frac{z}{2}=\sin z}$$
となる。そして、
$${v\left( x,y \right)=\operatorname{Im}\sin \left( x+iy \right)=\cos x\sinh y}$$
となる。
 
上の議論で
$${2u\left( \frac{z+\bar{z}}{2},\frac{z-\bar{z}}{2i} \right)=f\left( z \right)+{{f}^{*}}\left( {\bar{z}} \right)}$$
において$${\bar{z}=0}$$を代入したのだが、もし$${f\left( z \right)}$$が$${z=0}$$ を特異点とする場合
議論が破綻する。そこで、$${f\left( z \right)}$$ が別の点$${z=c}$$で正則な場合、$${\bar{z}=\bar{c}}$$を代入して
$${2u\left( \frac{z+\bar{c}}{2},\frac{z-\bar{c}}{2i} \right)=f\left( z \right)+{{f}^{*}}\left( {\bar{c}} \right)}$$
とする。そして、つぎに$${z=c}$$ とおくと
$${2u\left( \frac{c+\bar{c}}{2},\frac{c-\bar{c}}{2i} \right)=f\left( c \right)+{{f}^{*}}\left( {\bar{c}} \right)=\overline{{{f}^{*}}\left( {\bar{c}} \right)}+{{f}^{*}}\left( {\bar{c}} \right)}$$
となる。$${c=a+bi}$$ として、$${{{f}^{*}}\left( {\bar{c}} \right)}$$ が実数値となることを要請すれば
$${u\left( a,b \right)={{f}^{*}}\left( {\bar{c}} \right)}$$したがって
$${f\left( z \right)=2u\left( \frac{z+\bar{c}}{2},\frac{z-\bar{c}}{2i} \right)-u\left( a,b \right)}$$を得る。
 
例4 $${u\left( x,y \right)=\frac{1}{2}\log \left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right]}$$ の場合。$${f\left( z \right)=\log z}$$が予想される。
実際、$${c=1}$$ のとき$${{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1}$$であるから$${u\left( a,b \right)=0}$$
$${f\left( z \right)=2u\left( \frac{z+1}{2},\frac{z-1}{2i} \right)-u\left( a,b \right)}$$
$${=\log \left[ {{\left( \frac{z+1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{z-1}{2i} \right)}^{2}} \right]=\log z}$$
で正しい。$${c\ne 0}$$の一般の場合では
$${f\left( z \right)=\log \left[ {{\left( \frac{z+\bar{c}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{z-\bar{c}}{2i} \right)}^{2}} \right]}$$$${-\log \left| c \right|}$$
$${=\log z+\log \frac{\bar{c}}{\left| c \right|}}$$
となる。この場合上の要請通り$${{{f}^{*}}\left( {\bar{c}} \right)=f\left( c \right)}$$ は実数となっている。
 
上の見事な計算は形式的なものみえるが、$${f\left( z \right)}$$ が$${\left| z \right|<R}$$で解析的つまり一様収束するテーラ展開$${f\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{z}^{n}}}}$$を考えて正当化できる。
$${2u\left( x,y \right)=f\left( z \right)+\overline{f\left( z \right)}}$$は
$${2u\left( x,y \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{\left( x+iy \right)}^{n}}+}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\overline{{{a}_{n}}}{{\left( x-iy \right)}^{n}}}}$$
右辺は第１項は$${\left| x+iy \right|< R}$$、第２項は$${\left| x-iy \right|< R}$$のとき収束する。$${x,y}$$ が複素数になった時は、$${\left| x \right|<\frac{R}{2}}$$ ,$${\left| y \right|<\frac{R}{2}}$$の場合で
$${\left| x+iy \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|< R}$$,$${\left| x-iy \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|< R}$$
となる。複素変数$${x,y}$$でも$${\left| x \right|< \frac{R}{2}}$$ ,$${\left| y \right|<\frac{R}{2}}$$とすれば右辺の級数は絶対収束している。さらに$${x,y}$$が実数の場合は$${2u\left( x,y \right)}$$に一致している。
いま、複素数$${\zeta }$$ を$${\left| \zeta \right|< R}$$ 、そして
$${x=\frac{\zeta }{2}}$$ ,$${y=\frac{\zeta }{2i}}$$とおくと
$${x+iy=\zeta }$$, $${x-iy=0}$$
となるから、
$${2u\left( x,y \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{\left( x+iy \right)}^{n}}+}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\overline{{{a}_{n}}}{{\left( x-iy \right)}^{n}}}}$$は
$${2u\left( \frac{\zeta }{2},\frac{\zeta }{2i} \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{\zeta }^{n}}+}\overline{{{a}_{0}}}=f\left( \zeta \right)+\overline{{{a}_{0}}}}$$
となる。そして共役調和関数$${v\left( x,y \right)}$$が $${v\left( 0,0 \right)=0}$$を満たすという条件をつければ
$${\overline{{{a}_{0}}}={{a}_{0}}=u\left( 0,0 \right)}$$ となり
$${2u\left( \frac{\zeta }{2},\frac{\zeta }{2i} \right)=f\left( \zeta \right)+u\left( 0,0 \right)}$$
が得られた。つまり、
$${f\left( z \right)=2u\left( \frac{z}{2},\frac{z}{2i} \right)-u\left( 0,0 \right)}$$
は$${\left| z \right|<\frac{R}{2}}$$ の範囲で正しい。もっと広い領域でこの等式を言うには解析接続の方法でできるはずである。