メービウス変換の円円対応

 メービウス変換の表示は一次分数式のほかに非調和比による方法がある。メービウス変換は円を円に写像する。ただし、直線も円と考える。つまり、無限遠点∞を通る円。

複素数$${a,b,c,d}$$ と複素変数$${z}$$について
$${S\left( z \right)=\frac{az+b}{cz+d}}$$
という形をした写像を一次分数変換と呼ぶ。
また、特に$${ad-bc\ne 0}$$ をみたすとき
$${S\left( z \right)=\frac{az+b}{cz+d}}$$
をメービウス変換と呼ぶ。
$${{{S}^{-1}}\left( z \right)=\frac{dz-b}{-cz+a}}$$
とすれば
$${S\left( {{S}^{-1}}\left( z \right) \right)={{S}^{-1}}\left( S\left( z \right) \right)=z}$$
を満たす。実際たとえば、
$${S\left( {{S}^{-1}}\left( z \right) \right)=\frac{a{{S}^{-1}}\left( z \right)+b}{c{{S}^{-1}}\left( z \right)+d}}$$$${=\frac{a\frac{dz-b}{-cz+a}+b}{c\frac{dz-b}{-cz+a}+d}}$$$${=\frac{a\left( dz-b \right)+b\left( -cz+a \right)}{c\left( dz-b \right)+d\left( -cz+a \right)}}$$$${=\frac{(ad-bc)z}{-bc+ad}=z}$$。
したがって、$${{{S}^{-1}}}$$ は$${S}$$ の逆写像である。
また、$${T\left( z \right)=\frac{{{a}_{1}}z+{{b}_{1}}}{{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}}}$$とするとき、
$${S\circ T}$$ は一次分数変換となる。実際、
$${S\left( z \right)=\frac{az+b}{cz+d}}$$$${\sim \left( \begin{matrix}a & b \\c & d \\\end{matrix} \right)}$$,
$${T\left( z \right)=\frac{{{a}_{1}}z+{{b}_{1}}}{{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}}}$$$${\sim \left( \begin{matrix}{{a}_{1}} & {{b}_{1}} \\{{c}_{1}} & {{d}_{1}} \\\end{matrix} \right)}$$
という行列を用いた対応を考えると、
$${S\circ T}$$$${\sim \left( \begin{matrix}a & b \\c & d \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}{{a}_{1}} & {{b}_{1}} \\{{c}_{1}} & {{d}_{1}} \\\end{matrix} \right)}$$
のように行列の積が対応することがわかる。上に述べた$${ad-bc\ne 0}$$という条件は$${\det \left( \begin{matrix}a & b \\c & d \\\end{matrix} \right)\ne 0}$$
という条件であり、
$${\det \left( \begin{matrix}a & b \\c & d \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}{{a}_{1}} & {{b}_{1}} \\{{c}_{1}} & {{d}_{1}} \\\end{matrix} \right)=\det \left( \begin{matrix}a & b \\c & d \\\end{matrix} \right)\det \left( \begin{matrix}{{a}_{1}} & {{b}_{1}} \\{{c}_{1}} & {{d}_{1}} \\\end{matrix} \right) \ne 0}$$
より、メービウス変換$${S\left( z \right)}$$ とメービウス変換$${T\left( z \right)}$$ の合成$${S\circ T\left( z \right)}$$はふたたびメービウス変換となる。このようにしてメービウス変換全体は合成という”積”について群groupを成すことがわかる。
メービウス変換$${{{S}_{1}}\left( z \right)=z+a}$$は平行移動、
$${{{S}_{2}}\left( z \right)=az}$$,$${a>0}$$ は相似変換、
$${{{S}_{3}}\left( z \right)={{e}^{i\theta }}z}$$は回転、
$${{{S}_{4}}\left( z \right)=\frac{1}{z}}$$ は逆数であるが、
$${S\left( z \right)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}\left( z+\frac{d}{c} \right)}}$$
と書き直すてみると、メービウス変換というのは平行移動、相似変換、回転と逆数（割り算）の合成であることがかる。実際、$${c\ne 0}$$ の場合は、$${{{T}_{1}}\left( z \right)=z+a/c}$$ ,$${{{T}_{2}}\left( z \right)=1/z}$$,
$${{{T}_{3}}\left( z \right)=\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}}z}$$ , $${{{T}_{4}}\left( z \right)=z+b/d}$$
とおくと、$${S\left( z \right)=\frac{az+b}{cz+d}}$$は
$${S={{T}_{1}}\circ {{T}_{2}}\circ {{T}_{3}}\circ {{T}_{4}}}$$
となる。$${S\left( z \right)=\frac{az+b}{cz+d}}$$は$${cz+d=0}$$ では定義できない。しかし$${ad-bc\ne 0}$$の条件を考慮すれば、$${a=0=c}$$ あるいは、$${b=0=c}$$はありえないので、
$${S\left( \infty \right)=a/c}$$ 、$${S\left( -d/c \right)=\infty }$$
と定義して、$${S}$$ の定義域をガウス平面$${\mathbb{C}}$$ から、$${\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \left\{ \infty \right\}}$$ へと定義域を拡大してやると、メービウス変換は$${\hat{\mathbb{C}}}$$から$${\hat{\mathbb{C}}}$$への全単射となり、$${S}$$ も$${{{S}^{-1}}}$$ も解析的であることがわかる。$${z}$$ を$${S}$$ の不動点すなわち$${S\left( z \right)=z}$$ をみたすものとするとき、$${az+b=z\left( cz+d \right)}$$あるいは
$${c{{z}^{2}}+\left( d-a \right)z-b=0}$$
という2次方程式を満足しなければならないので、不動点の個数は高々２個ということになる。ただし、$${S\left( z \right)\equiv z}$$という恒等写像は除かれる。メービウス変換$${S}$$により、$${\hat{\mathbb{C}}}$$の異なる３点$${a,b,c}$$ をとると、
$${S\left( a \right)=\alpha }$$,$${S\left( b \right)=\beta }$$,$${S\left( c \right)=\gamma }$$
という$${\hat{\mathbb{C}}}$$の異なる３点が得られる。ほかにメービウス変換$${T}$$があり
$${T\left( a \right)=\alpha }$$,$${T\left( b \right)=\beta }$$,$${T\left( c \right)=\gamma }$$
となったとすると、
$${{{T}^{-1}}\circ S\left( a \right)=a }$$,$${{{T}^{-1}}\circ S\left( b \right)=b}$$,
$${{{T}^{-1}}\circ S\left( c \right)=c}$$
となりメービウス変換$${{{T}^{-1}}\circ S}$$ の不動点が３つあるという矛盾がおきる。つまり、これは上に述べた例外にあたり$${{{T}^{-1}}\circ S\left( z \right)\equiv z}$$、すなわち$${S\left( z \right)\equiv T\left( z \right)}$$となる。つまり、メービウス変換は$${\hat{\mathbb{C}}}$$上の３点への作用がわかればそれで特定されてしまう。そこで、メービウス変換は$${S\left( z \right)=\frac{az+b}{cz+d}}$$という顔とは別の非調和比cross rario$${\left( z,{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}$$ を用いた表現というもうひとつの顔が現れる。$${{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}}$$ を$${\hat{\mathbb{C}}}$$の3点とする。
そして、$${S:\hat{\mathbb{C}}\to \hat{\mathbb{C}}}$$ を次のように定義する。
$${{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}\in \mathbb{C}}$$のとき、
$${S\left( z \right)=\left( \frac{z-{{z}_{3}}}{z-{{z}_{4}}} \right)/\left( \frac{{{z}_{2}}-{{z}_{3}}}{{{z}_{2}}-{{z}_{4}}} \right)}$$
$${{{z}_{2}}=\infty }$$ のとき、 $${S\left( z \right)=\frac{z-{{z}_{3}}}{z-{{z}_{4}}}}$$
$${{{z}_{3}}=\infty }$$のとき、$${S\left( z \right)=\frac{{{z}_{2}}-{{z}_{4}}}{z-{{z}_{4}}}}$$
$${{{z}_{4}}=\infty }$$のとき、$${S\left( z \right)=\frac{z-{{z}_{3}}}{{{z}_{2}}-{{z}_{3}}}}$$
いずれの場合にも$${S\left( {{z}_{2}} \right)=1}$$,$${S\left( {{z}_{3}} \right)=0}$$,$${S\left( {{z}_{4}} \right)=\infty }$$となることがわかる。そして、これが唯ひとつのものであることは、３点での値をきめればメービウス変換が特定されることからわかる。
定義：$${{{z}_{1}}\in \hat{\mathbb{C}}}$$ のとき、非調和比$${\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}$$を、３点の作用$${{{z}_{2}}\to 1}$$ ,$${{{z}_{3}}\to 0}$$,$${{{z}_{4}}\to \infty }$$できまるメービウス変換の$${{{z}_{1}}}$$ における値とする。

例A：$${\left( {{z}_{2}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=1}$$,
$${\left( {{z}_{3}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=0}$$,
$${\left( {{z}_{4}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=\infty }$$
例B：$${\left( z,1,0,\infty \right)=z}$$
定義より、任意のメービウス変換$${M}$$で、$${{{w}_{2}},{{w}_{3}},{{w}_{4}}}$$ の３点を
$${M{{w}_{2}}=1}$$,$${M{{w}_{3}}=0}$$,$${M{{w}_{4}}=\infty }$$
に移すものとするとき、
$${Mz=\left( z,{{w}_{2}},{{w}_{3}},{{w}_{4}} \right)}$$となる。

非調和比はメービウス変換で変わらないという重要な性質がある。すなわち、
 
命題１　$${{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}}$$ を異なる３点、$${T}$$ を任意のメービウス変換とする。このとき、
$${\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=\left( T{{z}_{1}},T{{z}_{2}},T{{z}_{3}},T{{z}_{4}} \right)}$$
が任意の$${{{z}_{1}}}$$ について成り立つ。
証明）$${Sz=\left( z,{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}$$とおくとこれはメービウス変換である。$${M=S{{T}^{-1}}}$$ とすると$${M\left( T{{z}_{2}} \right)=1}$$, $${M\left( T{{z}_{3}} \right)=0}$$,
$${M\left( T{{z}_{4}} \right)=\infty }$$
となる。なぜなら例Aより、
$${MT{{z}_{2}}=S{{T}^{-1}}T{{z}_{2}}=S{{z}_{2}}=\left( {{z}_{2}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=1}$$
$${MT{{z}_{3}}=S{{T}^{-1}}T{{z}_{3}}=S{{z}_{3}}=\left( {{z}_{3}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=0}$$
$${MT{{z}_{4}}=S{{T}^{-1}}T{{z}_{4}}=S{{z}_{4}}=\left( {{z}_{4}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=\infty }$$
よって、
$${Mz=\left( z,T{{z}_{2}},T{{z}_{3}},T{{z}_{4}} \right)}$$
が任意の$${z\in {{\mathbb{C}}_{\infty }}}$$で成り立つ。
$${MT=S}$$ であったので
$${MTz=\left( Tz,T{{z}_{2}},T{{z}_{3}},T{{z}_{4}} \right)}$$$${=Sz=\left( z,{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}$$
証明終わり。
 
命題２．$${{{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}}$$を$${\hat{\mathbb{C}}}$$の上の４つの互いに異なる点とする。このとき、
$${\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}$$が実数であることの必要十分条件は$${{{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}}$$が同一円周上にあることである。
証明
まず４点$${{{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}}$$が中心$${a}$$ 、半径$${r}$$の円$${\left| z-a \right|=r>0}$$ 上にある場合、
$${{{z}_{i}}-a=\frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{i}}-\bar{a}}}$$ ,$${i=1,2,3,4}$$
が成り立つ。命題１より平行移動（メービウス変換）で非調和比は不変であるから$${\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=\left( {{z}_{1}}-a,{{z}_{2}}-a,{{z}_{3}}-a,{{z}_{4}}-a \right)}$$
他方、４点が円周上にあることと実数値をとるとしたことから
$${\left( {{z}_{1}}-a,{{z}_{2}}-a,{{z}_{3}}-a,{{z}_{4}}-a \right)=\left( \frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{1}}-\bar{a}},\frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{2}}-\bar{a}},\frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{3}}-\bar{a}},\frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{4}}-\bar{a}} \right)}$$
$${=\overline{\left( \frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{1}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{2}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{3}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{4}}-a} \right)}}$$
ここで、メービウス変換$${z\mapsto \left( {{r}^{2}}/z \right)+a}$$ を施すと再び命題１より
$${\overline{\left( \frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{1}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{2}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{3}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{4}}-a} \right)}=\overline{\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}}$$
結局
$${\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=\overline{\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}}$$
これは、$${{{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}}$$が同一の円の上にあるなら、$${\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}$$が実数であることを示している。次に、$${{{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}}$$が直線$${z=a+tb}$$$${\left( b\ne 0,t 実数\,\, \right)}$$ の上にある場合を考えてみよう。
$${\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=\left( {{z}_{1}}-a,{{z}_{2}}-a,{{z}_{3}}-a,{{z}_{4}}-a \right)}$$$${=\left( {{t}_{1}}b,{{t}_{2}}b,{{t}_{3}}b,{{t}_{4}}b \right)}$$$${=\left( {{t}_{1}},{{t}_{2}},{{t}_{3}},{{t}_{4}} \right)}$$
となりこれは実数である。
次に、$${\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}$$が実数であることを仮定する。前半同様な計算をしていく。
３点$${{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}}$$が中心$${a}$$ 、半径$${r}$$の円$${\left| z-a \right|=r>0}$$ 上にある場合
$${\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=\left( \frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{1}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{2}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{3}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{4}}-a} \right)}$$
$${=\overline{\left( \frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{1}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{2}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{3}}-a},\frac{{{r}^{2}}}{{{z}_{4}}-a} \right)}}$$$${=\left( \frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{1}}-\bar{a}},\frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{2}}-\bar{a}},\frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{3}}-\bar{a}},\frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{4}}-\bar{a}} \right)}$$
$${=\left( \frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{1}}-\bar{a}},{{z}_{2}}-a,{{z}_{3}}-a,{{z}_{4}}-a \right)}$$$${=\left( \frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{1}}-\bar{a}}+a,{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}$$
より、$${{{z}_{1}}=\frac{{{r}^{2}}}{{{{\bar{z}}}_{1}}-\bar{a}}+a}$$ がえられ、$${{{z}_{1}}}$$ も$${{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}}$$と同じ同じ半径$${r}$$ の円
$${\left| z-a \right|=r>0}$$上にあることがわかる。
３点$${{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}}$$が直線$${z=a+tb}$$にあるとき
すなわち、$${{{z}_{i}}=a+{{t}_{i}}b}$$, $${i=2,3,4}$$のとき$${\left( {{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=\left( \frac{{{z}_{1}}-a}{b},{{t}_{2}},{{t}_{3}},{{t}_{4}} \right)}$$
が成り立つことは上記証明と同様にすれば良い。そして、
$${\left( \frac{{{z}_{1}}-a}{b},{{t}_{2}},{{t}_{3}},{{t}_{4}} \right)}$$と$${{{t}_{2}},{{t}_{3}},{{t}_{4}}}$$ は実数であるから
$${\left( \frac{{{z}_{1}}-a}{b},{{t}_{2}},{{t}_{3}},{{t}_{4}} \right)}$$$${=\overline{\left( \frac{{{z}_{1}}-a}{b},{{t}_{2}},{{t}_{3}},{{t}_{4}} \right)}}$$$${=\left( \overline{\frac{{{z}_{1}}-a}{b}},{{t}_{2}},{{t}_{3}},{{t}_{4}} \right)}$$
これから$${\frac{{{z}_{1}}-a}{b}}$$は実数であることがわかる。その実数を$${t}$$とすれば、$${{{z}_{1}}}$$は直線$${z=a+tb}$$の上にあることを意味している。証明終わり。
 
命題２をつかえば次の定理を得る。
 
定理（メービウス変換$${S}$$は円円対応を与える変換である）
証明$${{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}}$$が円$${C}$$の上にあるとする。３点$${S{{z}_{2}},S{{z}_{3}},S{{z}_{4}}}$$で決まる円を$${C'}$$ とする。
$${z}$$ を$${C}$$上の任意の点とすると、命題２より$${\left( z,{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}$$は実数である。ところで命題１をつかえば$${\left( z,{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)=\left( Sz,S{{z}_{2}},S{{z}_{3}},S{{z}_{4}} \right)}$$となるがこれが実数ということからまた命題２を使って$${Sz}$$ が円$${C'}$$にあることを示している。つまり、$${S\left( C \right)\subset C'}$$ 。$${S}$$ は一次変換であることを考え合わせれば$${S\left( C \right)=C'}$$でなければならない。証明おわり

エピローグ：
円円対応を言うには$${S\left( C \right)\subset C'}$$だけでなく$${S\left( C \right)=C'}$$を言わなければならない。
$${C}$$と$${C'}$$を$${\hat{\mathbb{C}}}$$における円とする。
$${{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}\in C}$$,$${{{w}_{2}},{{w}_{3}},{{w}_{4}}\in C'}$$とする。
いま、
$${Rz=\left( z,{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}} \right)}$$,
$${Tz=\left( z,{{w}_{2}},{{w}_{3}},{{w}_{4}} \right)}$$
とおくと$${S={{T}^{-1}}\circ R}$$ は$${C}$$ から$${C'}$$への上への写像となる。実際$${S{{z}_{j}}={{w}_{j}}}$$ ,$${j=2,3,4}$$。メービウス変換は３点の対応で決まってしまうのであるから、 $${S\left( C \right)=C'}$$でなければならない。