素イデアルと極大イデアル

素イデアルと極大イデアル

 $${R}$$を可換環とする。素イデアル$${P}$$ と極大イデアル$${M}$$についてのお話をしましょう。
 
$${P}$$ が素イデアルである条件は
$${\bar{a},\bar{b}\in R/P}$$ にたいして
 $${\bar{a}\bar{b}=\overline{0}}$$$${\Rightarrow }$$ $${\bar{a}=0}$$または$${\bar{b}=0}$$
であることつまり零因子をもたないことであり、
$${R/P}$$が整域になることである。
 
$${M}$$が極大イデアルであるための条件は
$${\bar{x},\bar{r}\in R/M}$$に対して$${\bar{x}\ne 0}$$のとき、
$${\bar{1}=\bar{r}\,\bar{x}}$$
であること、つまりゼロ元以外は逆数をもつことをいっている。これは$${R/M}$$ が体であることを意味している。
 
たとえば、整数全体は足し算掛け算が定義された環であるが割り算できない（無理に割り算しようとすると整数でなくなってしまう）。有理数全体は割り算ができる体である。
 
 $${R}$$を可換環とする。
$${I}$$ が$${R}$$ のイデアルとは
$${I\subset R}$$で$${a,b\in I}$$,$${r\in R}$$ のとき
$${a+b\in I}$$ , $${ra\in I}$$
をなりたたせるものである。
ここで注意:イデアルが１を含むとき、そのイデアルは実は$${R}$$そのものである。

$${R/I}$$ を$${R}$$ の$${I}$$による剰余環とする。

$${a-b\in I}$$ のとき、$${a\sim b}$$とかくと、$${\sim}$$ は同値関係になる

この同値関係により$${R}$$は同値類に分割される。剰余環はこの分割の一つ一つを要素とする可換環である、
$${a\sim b}$$は
$${a\equiv b(\bmod I)}$$
ともあらわされる。したがって、
$${a\in I}$$のとき、$${a\equiv 0(\bmod I)}$$である。

$${R/I}$$の各要素（同値類）は$${a,b\in R}$$に対して

$${a+I}$$, $${b+I}$$のようなかたちをもち

加算:$${\left( a+I \right)+\left( b+I \right)=\left( a+b \right)+I}$$

積:$${\left( a+I \right)\left( b+I \right)=ab+I}$$

により可換環となる。これを略して、

 加算：$${\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}}$$

積：$${\bar{a}\bar{b}=\overline{ab}}$$

と表記することも多い。

 $${a\in I}$$ のとき、$${a\equiv 0(\bmod I)}$$は
$${a+I=0+I}$$
であるから
$${a\in I}$$$${\Leftrightarrow a+I=I}$$$${\Leftrightarrow}$$$${\bar{a}=0}$$

に注意する。

素イデアルの定義：
$${P}$$を$${R}$$ のイデアルで
$${ab\in P\to a\in P\,or\,b\in P}$$
をみたすとき$${P}$$ は素イデアル
prime idealと呼ばれる。

$${a\in P}$$$${\Leftrightarrow}$$$${a+P=P}$$
であったから
$${ab\in P\to a\in P\,or\,b\in P}$$
は
$${ab+P=P\to a+P=P\,\,or\,\,b+P=P}$$
と書き直せる。したがって、うえでのべた表記法では$${\bar{a}\bar{b}=\overline{0}}$$$${\Rightarrow}$$$${\bar{a}=0}$$ または$${\bar{b}=0}$$
となる。この性質をもって$${R/P}$$ は整域であると言われる。すなわち、

定理：
イデアル$${P}$$ が素イデアルであるための必要十分条件は$${R/P}$$が整域であることである。

極大イデアルの定義
$${M,J}$$が$${R}$$ のイデアルで
$${M\subset J\subset R}$$,$${J\ne M}$$$${\to}$$ $${J=R}$$
をみたすとき$${M}$$ は極大イデアルmaximal idealと呼ばれる。

$${x\notin M}$$のとき$${J}$$として、$${J＝M+Rx}$$とおけば、条件から$${M+Rx=R}$$となる。$${\bar{1}=R}$$を考慮すれば(ここで上の注意を使っている)
$${x\notin M}$$のとき$${1\in M+Rx}$$。

すなわち、$${x\notin M}$$のとき、
$${1+M=rx+M=\left( r+M \right)\left( x+M \right)}$$

別の表記法で、

$${\bar{x}\ne 0}$$のとき、$${\bar{1}=\bar{r}\,\bar{x}}$$

となる。これは$${R/M}$$ が体であることを言っている。

 

結局次の定理をえた。

定理：
$${M}$$が極大イデアルであるための必要十分条件は
$${R/M}$$が体となることである。

 

 おまけ

体ならば整域であるから

定理：
素イデアルは極大イデアルである。