調和関数とPoissonの積分公式

調和関数とPoissonの積分公式
$${z=x+iy\in \mathbb{C}}$$ に対して、実数値関数
$${u\left( z \right)=u\left( x,y \right)}$$ は2回連続微分可能な関数で、ラプラスの微分方程式
$${\Delta u\left( z \right)=\frac{{{\partial }^{2}}}{{{\partial }^{2}}x}u\left( x,y \right)+\frac{{{\partial }^{2}}}{{{\partial }^{2}}y}u\left( x,y \right)=0}$$
をみたすとき調和関数と呼ばれる。調和関数はある正則関数$${f\left( z \right)=u\left( z \right)+iv\left( z \right)}$$
の実部$${u\left( z \right)}$$ として現れる。正則関数$${f\left( z \right)}$$ に対してGaussの平均値の定理
$${f\left( a \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{f\left( a+r{{e}^{i\theta }} \right)}d\theta }$$ ,$${r>0}$$
が知られている。実数部分を比較すれば、調和関数でも
$${u\left( a \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( a+r{{e}^{i\theta }} \right)}d\theta }$$,$${r>0}$$
が成立することがわかる。とくに、$${a=0}$$ とおくと
$${u\left( 0 \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( r{{e}^{i\theta }} \right)}d\theta }$$,$${r>0}$$
となる。この平均値の定理から、調和関数のPoisson 積分表示
$${u\left( z \right)=u\left( r{{e}^{i\phi }} \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( \rho {{e}^{i\theta }} \right)}\frac{{{\rho }^{2}}-{{r}^{2}}}{{{\rho }^{2}}+{{r}^{2}}-2r\rho \cos \left( \theta -\phi \right)}d\theta }$$ ,
$${\rho >r>0}$$
を導出することができる。そのために、
円 $${\left| \zeta \right|=\rho }$$をそれ自身$${\left| z \right|=\rho }$$に移すMöbius変換
$${z=z\left( \zeta \right)}$$ ：
$${\frac{z-a}{{{\rho }^{2}}-\bar{a}z}=\lambda \frac{\zeta -b}{{{\rho }^{2}}-\bar{b}\zeta }}$$, $${\left| a \right|<\rho ,\left| b \right|<\rho }$$
を考える。この写像は$${a}$$を$${b}$$ に移す
円盤$${\left| \zeta \right|\le \rho }$$から円盤$${\left| z \right|\le \rho }$$への全射写像である。左辺に$${\bar{z}/\bar{z}}$$、右辺に$${\bar{\zeta }/\bar{\zeta }}$$を掛けると
$${\bar{z}\frac{z-a}{{{\rho }^{2}}\bar{z}-\bar{a}{{\left| z \right|}^{2}}}=\lambda \bar{\zeta }\frac{\zeta -b}{{{\rho }^{2}}\bar{\zeta }-\bar{b}{{\left| \zeta \right|}^{2}}}}$$
であるが絶対値を取って、
$${\left| {\bar{z}} \right|\left| \frac{z-a}{{{\rho }^{2}}\bar{z}-\bar{a}{{\left| z \right|}^{2}}} \right|=\left| \lambda \right|\left| {\bar{\zeta }} \right|\left| \frac{\zeta -b}{{{\rho }^{2}}\bar{\zeta }-\bar{b}{{\left| \zeta \right|}^{2}}} \right|}$$
 この式で$${\left| \zeta \right|=\rho }$$とすると$${\left| z \right|=\rho }$$であるから
$${\left| \frac{z-a}{{{\rho }^{2}}\bar{z}-\bar{a}{{\rho }^{2}}} \right|=\left| \lambda \right|\left| \frac{\zeta -b}{{{\rho }^{2}}\bar{\zeta }-\bar{b}{{\rho }^{2}}} \right|}$$
$${\left| \frac{z-a}{\bar{z}-\bar{a}} \right|=\left| \lambda \right|\left| \frac{\zeta -b}{\bar{\zeta }-\bar{b}} \right|}$$
より$${\left| \lambda \right|=1}$$ となる。したがって$${\lambda ={{e}^{i\alpha }}}$$とおくと
$${\frac{z-a}{{{\rho }^{2}}-\bar{a}z}={{e}^{i\alpha }}\frac{\zeta -b}{{{\rho }^{2}}-\bar{b}\zeta }}$$
となる。対数をとって
$${\log \left( z-a \right)-\log \left( {{\rho }^{2}}-\bar{a}z \right)=i\alpha +\log \left( \zeta -b \right)-\log \left( {{\rho }^{2}}-\bar{b}\zeta \right)}$$
両辺を微分すると
$${\left( \frac{1}{z-a}+\frac{{\bar{a}}}{{{\rho }^{2}}-\bar{a}z} \right)dz=\left( \frac{1}{\zeta -b}+\frac{{\bar{b}}}{{{\rho }^{2}}-\bar{b}\zeta } \right)d\zeta }$$
となり整理すると
$${\frac{{{\rho }^{2}}-{{\left| a \right|}^{2}}}{\left( z-a \right)\left( {{\rho }^{2}}-\bar{a}z \right)}dz=\frac{{{\rho }^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}}{\left( \zeta -b \right)\left( {{\rho }^{2}}-\bar{b}\zeta \right)}d\zeta }$$
を得る。$${z=\rho {{e}^{i\theta }}}$$ , $${\zeta =\rho {{e}^{i\psi }}}$$ とおくと
$${\frac{dz}{z}=id\theta }$$ ,$${\frac{d\zeta }{\zeta }=id\psi }$$であるから、
$${\left| z \right|=\rho }$$では$${{{\rho }^{2}}/z=\bar{z}}$$ 、$${\left| \zeta \right|=\rho }$$では$${{{\rho }^{2}}/\zeta =\bar{\zeta }}$$となるので
$${\frac{{{\rho }^{2}}-\left| {{a}^{2}} \right|}{\left| z-{{a}^{2}} \right|}d\theta =\frac{{{\rho }^{2}}-\left| {{b}^{2}} \right|}{\left| z-{{b}^{2}} \right|}d\psi }$$ を得る。
$${\left| z \right|\le \rho }$$で定義された 調和関数$${u\left( z \right)}$$ があるとき、円盤$${\left| z \right|\le \rho }$$の任意の内点$${{{z}_{0}}}$$ における値$${u\left( {{z}_{0}} \right)}$$を円周$${\left| z \right|=\rho }$$上の値$${u\left( \rho {{e}^{i\theta }} \right)}$$の積分であらわす式を導出することが目的であった。このために今求めた結果を使うのには、調和関数$${u\left( z \right)}$$に$${z=z\left( \zeta \right)}$$ というメービウス変換によって与えられる等角写像を合成した関数
$${\tilde{u}\left( \zeta \right)=u\left( z\left( \zeta \right) \right)}$$は$${\zeta }$$ についてまた調和関数になるという事実を使う。それには
$${\Delta \tilde{u}={{\left| z' \right|}^{2}}\Delta u}$$という関係から、等角写像では$${z'\ne 0}$$なので、
$${\Delta u=0\Rightarrow \Delta \tilde{u}=0}$$
がみちびかれることによる。
（計算が面倒だが単純な微分計算を繰り返すことによりわかる。Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1953, p.173もその重要性をのべており、他の複素関数論に関する文献で証明を見つけられるだろう。）
 
上で述べた、円 $${\left| \zeta \right|=\rho }$$をそれ自身$${\left| z \right|=\rho }$$に移す等角写像Möbius変換$${z=z\left( \zeta \right)}$$ ：
$${\frac{z-a}{{{\rho }^{2}}-\bar{a}z}={{e}^{i\alpha }}\frac{\zeta -b}{{{\rho }^{2}}-\bar{b}\zeta }}$$ , $${\left| a \right|<\rho ,\left| b \right|<\rho }$$
において、$${a={{z}_{0}}}$$ , $${b=0}$$ と置いてやると$${\frac{{{\rho }^{2}}-{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}}{{{\left| z-{{z}_{0}} \right|}^{2}}}d\theta =d\psi }$$となる。$${\tilde{u}\left( \zeta \right)=u\left( z \right)}$$であり$${\tilde{u}\left( 0 \right)=u\left( {{z}_{0}} \right)}$$であるから$${\tilde{u}}$$ についてGaussの平均値の定理を適用すれば
$${u\left( {{z}_{0}} \right)=\tilde{u}\left( 0 \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{\tilde{u}\left( \zeta \right)}d\psi =\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( z \right)\frac{{{\rho }^{2}}-{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}}{{{\left| z-{{z}_{0}} \right|}^{2}}}d\theta }}$$
$${=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( \rho {{e}^{i\theta }} \right)\frac{{{\rho }^{2}}-{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}}{{{\left| \rho {{e}^{i\theta }}-{{z}_{0}} \right|}^{2}}}d\theta }}$$
ここで、$${{{z}_{0}}=r{{e}^{i\phi }}}$$ とかけば、
$${u\left( r{{e}^{i\phi }} \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( \rho {{e}^{i\theta }} \right)\frac{{{\rho }^{2}}-{{r}^{2}}}{{{\left| \rho {{e}^{i\theta }}-r{{e}^{i\phi }} \right|}^{2}}}d\theta }=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{0}^{2\pi }{u\left( \rho {{e}^{i\theta }} \right)\frac{{{\rho }^{2}}-{{r}^{2}}}{{{\rho }^{2}}+{{r}^{2}}-2r\cos \left( \theta -\phi \right)}d\theta }}$$
を得る。以上証明おわり。